Физический маятник

Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Дифференциальное уравнение движения физического маятника

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса по теореме Штайнера:

I = I 0 + m h 2 = m ( r 2 + h 2 ) , {displaystyle I=I_{0}+mh^{2}=mleft(r^{2}+h^{2} ight),} где I 0 {displaystyle I_{0}} — момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести; r {displaystyle r} — эффективный радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Динамическое уравнение произвольного вращения твёрдого тела:

I d 2 θ d t 2 = − M s , {displaystyle I{frac {d^{2} heta }{dt^{2}}}=-M_{s},} где M s {displaystyle M_{s}} — суммарный момент сил, действующих на тело относительно оси вращения. M s = M + M f , {displaystyle M_{s}=M+M_{f},} где M {displaystyle M} — момент сил, вызванный силой тяжести; M f {displaystyle M_{f}} — момент сил, вызванный силами трения среды.

Момент вызванный силой тяжести зависит от угла отклонения тела от положения равновесия:

M = m g h sin ⁡ θ {displaystyle M=mghsin heta }

Если пренебречь сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести:

I d 2 θ d t 2 = − m g h sin ⁡ θ {displaystyle I{frac {d^{2} heta }{dt^{2}}}=-mghsin heta } .

Если разделить обе части уравнения на h {displaystyle h} и положить λ = r 2 + h 2 h = r 2 h + h , {displaystyle lambda ={frac {r^{2}+h^{2}}{h}}={frac {r^{2}}{h}}+h,} то уравнение будет:

λ d 2 θ d t 2 = − g sin ⁡ θ . {displaystyle lambda {frac {d^{2} heta }{dt^{2}}}=-gsin heta .}

Такое уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной λ {displaystyle lambda } . Величина λ {displaystyle lambda } называется приведённой длиной физического маятника.

Центр качания физического маятника

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии λ {displaystyle lambda } от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром тяжести. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен I = m λ 2 {displaystyle I=mlambda ^{2}} , а момент силы тяжести относительно той же оси − m g λ sin ⁡ θ {displaystyle -mglambda sin heta } . При этом уравнение движения не изменится.

Теорема Гюйгенса

Формулировка

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

Доказательство

Вычислим приведенную длину для нового маятника:

λ 1 = r 2 r 2 / h + r 2 h = h + r 2 h = λ {displaystyle lambda _{1}={frac {r^{2}}{r^{2}/h}}+{frac {r^{2}}{h}}=h+{frac {r^{2}}{h}}=lambda } .

Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

Период колебаний физического маятника

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.

Для этого умножим левую λ d 2 θ d t 2 = λ d d t ( d θ d t ) {displaystyle lambda {frac {d^{2} heta }{dt^{2}}}=lambda {frac {d}{dt}}left({frac {d heta }{dt}} ight)} и правую часть этого уравнения на d θ {displaystyle d heta } . Тогда:

λ d θ d t d ( d θ d t ) = − g sin ⁡ θ d θ {displaystyle lambda {frac {d heta }{dt}}dleft({frac {d heta }{dt}} ight)=-gsin heta ,d heta } .

Интегрируя это уравнение, получаем:

λ ( d θ d t ) 2 = 2 g cos ⁡ θ + C {displaystyle lambda left({frac {d heta }{dt}} ight)^{2}=2gcos heta +C} , где C {displaystyle C} — произвольная постоянная.

Её можно найти из граничного условия, что в моменты θ = ± α , d θ d t = 0 {displaystyle heta =pm alpha ,,,,{frac {d heta }{dt}}=0} . Получаем:

C = − 2 g cos ⁡ α . {displaystyle C=-2gcos alpha .}

Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

d θ d t = 2 g λ sin 2 ⁡ α 2 − sin 2 ⁡ θ 2 . {displaystyle {frac {d heta }{dt}}=2{sqrt {frac {g}{lambda }}}{sqrt {sin ^{2}{frac {alpha }{2}}-sin ^{2}{frac { heta }{2}}}}.}

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

g λ t = ∫ 0 θ 2 d ( θ 2 ) sin 2 ⁡ α 2 − sin 2 ⁡ θ 2 . {displaystyle {sqrt {frac {g}{lambda }}}t=int limits _{0}^{frac { heta }{2}}{frac {dleft({frac { heta }{2}} ight)}{sqrt {sin ^{2}{frac {alpha }{2}}-sin ^{2}{frac { heta }{2}}}}}.}

Удобно сделать замену переменной полагая sin ⁡ θ 2 = sin ⁡ α 2 sin ⁡ φ . {displaystyle sin {frac { heta }{2}}=sin {frac {alpha }{2}}sin varphi .} . Тогда искомое уравнение принимает вид:

t = λ g ∫ 0 φ d φ 1 − sin 2 ⁡ α 2 sin 2 ⁡ φ = λ g F ( φ ∖ α / 2 ) . {displaystyle t={sqrt {frac {lambda }{g}}}int limits _{0}^{varphi }{frac {dvarphi }{sqrt {1-sin ^{2}{frac {alpha }{2}}sin ^{2}varphi }}}={sqrt {frac {lambda }{g}}}Fleft(varphi setminus alpha /2 ight).}

Здесь F ( φ ∖ α ) {displaystyle Fleft(varphi setminus alpha ight)} — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

T = 4 λ g ∫ 0 π / 2 d φ 1 − sin 2 ⁡ α 2 sin 2 ⁡ φ = 4 λ g K ( sin ⁡ α 2 ) . {displaystyle T=4{sqrt {frac {lambda }{g}}},int limits _{0}^{pi /2}{frac {dvarphi }{sqrt {1-sin ^{2}{frac {alpha }{2}}sin ^{2}varphi }}}=4{sqrt {frac {lambda }{g}}},Kleft(sin {frac {alpha }{2}} ight).}

Здесь K ( sin ⁡ α 2 ) {displaystyle Kleft(sin {frac {alpha }{2}} ight)} — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:

T = 2 π λ g { 1 + ( 1 2 ) 2 sin 2 ⁡ ( α 2 ) + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 sin 4 ⁡ ( α 2 ) + ⋯ + [ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ] 2 sin 2 n ⁡ ( α 2 ) + … } . {displaystyle T=2pi {sqrt {frac {lambda }{g}}}left{1+left({frac {1}{2}} ight)^{2}sin ^{2}left({frac {alpha }{2}} ight)+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}} ight)^{2}sin ^{4}left({frac {alpha }{2}} ight)+dots +left[{frac {left(2n-1 ight)!!}{left(2n ight)!!}} ight]^{2}sin ^{2n}left({frac {alpha }{2}} ight)+dots ight}.}

Период малых колебаний физического маятника

Если α ≪ 1 , {displaystyle alpha ll 1,} — случай малых максимальных угловых отклонений от равновесия, θ < α , {displaystyle heta <alpha ,} то sin ⁡ θ ≈ θ {displaystyle sin heta approx heta } так как разложение синуса в ряд Маклорена sin ⁡ θ ≈ θ − θ 3 / 3 … {displaystyle sin heta approx heta - heta ^{3}/3dots } и уравнения движения переходит в уравнение гармонического осциллятора без трения:

λ d 2 θ d t 2 = − g θ . {displaystyle lambda {frac {d^{2} heta }{dt^{2}}}=-g heta .}

Период колебания маятника в этом случае:

T = 2 π λ g . {displaystyle T=2pi {sqrt {frac {lambda }{g}}}.}

В иной формулировке: если амплитуда колебаний α {displaystyle alpha } мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

T = 2 π λ g = 2 π I m g h . {displaystyle T=2pi {sqrt {frac {lambda }{g}}}=2pi {sqrt {frac {I}{mgh}}}.}

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах отклонения до 1 радиана (≈57°):

T ≈ 2 π λ g ( 1 + 1 4 sin 2 ⁡ ( α 2 ) ) = π 4 λ g ( 9 − cos ⁡ α ) . {displaystyle Tapprox 2pi {sqrt {frac {lambda }{g}}}left(1+{frac {1}{4}}sin ^{2}left({frac {alpha }{2}} ight) ight)={frac {pi }{4}}{sqrt {frac {lambda }{g}}}left(9-cos {alpha } ight).}