Супераддитивность

09.03.2021

В математике последовательность {an}, n ≥ 1, называется супераддитивной, если она удовлетворяет неравенству

a n + m ≥ a n + a m {displaystyle a_{n+m}geq a_{n}+a_{m}}

для любых m и n. Основная причина использования супераддитивных последовательностей вытекает из следующей леммы Майкла Фекете.

Лемма: (Фекете) Для любой супераддитивной последовательности {an}, n≥1, предел lim an /n существует и равен супремуму sup an/n. (Предел может быть положительной бесконечностью, например, для последовательности an=logn!).

Аналогично, функция f супераддитивна, если

f ( x + y ) ≥ f ( x ) + f ( y ) {displaystyle f(x+y)geq f(x)+f(y)}

для любых x и y из области определения f .

Например, f ( x ) = x 2 {displaystyle f(x)=x^{2}} является супераддитивной функцией для неотрицательных действительных чисел, поскольку квадрат x + y {displaystyle x+y} всегда больше или равен сумме квадратов x {displaystyle x} и y {displaystyle y} для любых неотрицательных действительных чисел x {displaystyle x} и y {displaystyle y} .

Аналог леммы Фекете верен и для субаддитивных функций. Существуют расширения леммы Фекете, которые не требуют, чтобы определение супераддитивности выполнялось для всех m и n. Есть также результаты, которые позволяют вывести скорость сходимости к пределу, существование которого утверждается в лемме Фекете, если присутствует какая-либо супераддитивность или субаддитивность. Хорошее изложение этой темы можно найти в Steele (1997).

Термин «супераддитивный» также применяется к функциям из алгебры логики, где P ( X ∨ Y ) ≥ P ( X ) + P ( Y ) {displaystyle P(Xlor Y)geq P(X)+P(Y)} .

Если f — супераддитивная функция и 0 находится в её области определения, то f (0) ≤ 0. Чтобы убедиться в этом, возьмём неравенство: f ( x ) ≤ f ( x + y ) − f ( y ) {displaystyle f(x)leq f(x+y)-f(y)} . Следовательно f ( 0 ) ≤ f ( 0 + y ) − f ( y ) = 0. {displaystyle f(0)leq f(0+y)-f(y)=0.}

Примеры супераддитивных функций

  • Определитель супераддитивен для неотрицательной эрмитовой матрицы, то есть если A , B ∈ Mat n ( C ) {displaystyle A,Bin { ext{Mat}}_{n}(mathbb {C} )} — неотрицательные эрмитовы матрицы, то det ( A + B ) ≥ det ( A ) + det ( B ) {displaystyle det(A+B)geq det(A)+det(B)} . Это следует из теоремы о детерминанте[прояснить] Минковского, которая в общем случае утверждает, что det ( ⋅ ) 1 / n {displaystyle det(cdot )^{1/n}} является супераддитивной (то есть вогнутой) для неотрицательных эрмитовых матриц размера n: Если A , B ∈ Mat n ( C ) {displaystyle A,Bin { ext{Mat}}_{n}(mathbb {C} )} — неотрицательные эрмитовы матрицы, то det ( A + B ) 1 / n ≥ det ( A ) 1 / n + det ( B ) 1 / n {displaystyle det(A+B)^{1/n}geq det(A)^{1/n}+det(B)^{1/n}} .
  • Взаимная информация
  • Хорст Альцер доказал что гамма-функция Адамара H (x) супераддитивна для всех действительных чисел x, y с x, y ≥ 1,5031.