Распределение Рэлея

09.03.2021

Распределение Рэлея — это распределение вероятностей случайной величины X {displaystyle displaystyle X} с плотностью

f ( x ; σ ) = x σ 2 exp ⁡ ( − x 2 2 σ 2 ) , x ⩾ 0 , σ > 0 , {displaystyle f(x;sigma )={frac {x}{sigma ^{2}}}exp left(-{frac {x^{2}}{2sigma ^{2}}} ight),xgeqslant 0,sigma >0,}

где σ {displaystyle displaystyle sigma } — параметр масштаба. Соответствующая функция распределения имеет вид

P ( X ⩽ x ) = ∫ 0 x f ( ξ ) d ξ = 1 − exp ⁡ ( − x 2 2 σ 2 ) , x ⩾ 0. {displaystyle {mathsf {P}}(Xleqslant x)=int limits _{0}^{x}f(xi ),dxi =1-exp left(-{frac {x^{2}}{2sigma ^{2}}} ight),xgeqslant 0.}

Введено впервые в 1880 г. Джоном Уильямом Стреттом (лордом Рэлеем) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со случайными фазами.

Применение

  • В задачах о пристрелке пушек. Если отклонения от цели для двух взаимно перпендикулярных направлений нормально распределены и некоррелированы, координаты цели совпадают с началом координат, то, обозначив разброс по осям как X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} , получим выражение для величины промаха в виде R = X 2 + Y 2 {displaystyle R={sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}} . В этом случае величина R {displaystyle R} имеет распределение Рэлея.
  • В радиотехнике для описания амплитудных флуктуаций радиосигнала.

Связь с другими распределениями

  • Если X {displaystyle {X}} и Y {displaystyle {Y}} — независимые гауссовские случайные величины имеющие нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии σ 2 {displaystyle {{sigma }^{2}}} , то случайная величина Z = X 2 + Y 2 {displaystyle Z={sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}} имеет распределение Рэлея.
  • Если независимые гауссовские случайные величины X {displaystyle {X}} и Y {displaystyle {Y}} имеют ненулевые математические ожидания, в общем случае неравные, то распределение Рэлея переходит в распределение Райса.
  • Плотность распределения квадрата рэлеевской величины с σ = 1 {displaystyle {sigma =1}} имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы.
  • Распределение Рэлея заменой переменной сводится к гамма-распределению.