Теорема сравнения Штурма

09.03.2021

Теорема сравнения Штурма — классическая теорема, дающая критерий неосцилляции решений некоторых линейных дифференциальных уравнений.

Названа в честь Жака Шарля Франсуа Штурма. Расширенная версия теоремы, сформулированная ниже, была получена Мауро Пиконе.

Формулировка

Пусть pi, qi i = 1, 2, — вещественнозначные непрерывные функции на интервале [a, b] и пусть

  • ( p 1 ( x ) y ′ ) ′ + q 1 ( x ) y = 0 {displaystyle (p_{1}(x)y^{prime })^{prime }+q_{1}(x)y=0}
  • ( p 2 ( x ) y ′ ) ′ + q 2 ( x ) y = 0 {displaystyle (p_{2}(x)y^{prime })^{prime }+q_{2}(x)y=0}
  • — два однородных линейных дифференциальных уравнения второго порядка в самосопряженной форме с

    0 < p 2 ( x ) ≤ p 1 ( x ) {displaystyle 0<p_{2}(x)leq p_{1}(x)}

    и

    q 2 ( x ) ≥ q 1 ( x ) . {displaystyle q_{2}(x)geq q_{1}(x).}

    Пусть u — нетривиальное решение (1) с последовательными корнями в z1 и z2 и пусть v — нетривиальное решение (2). Тогда имеет место одно из следующих свойств:

    • Существует x в (z1, z2) такие, что v(x) = 0; или же
    • Решения u и v пропорциональны; то есть существует λ в R такое, что v(x) = λ u(x).