Корреляционная функция

10.03.2021


Корреляционная функция — функция времени и пространственных координат, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами.

Определение

Зависящая от времени корреляция двух случайных функций X ( t ) {displaystyle X(t)} и Y ( t ) {displaystyle Y(t)} определяется как:

C ( t , t ′ ) = ⟨ X ( t ) Y ( t ′ ) ⟩ {displaystyle C(t,t^{prime })=langle X(t)Y(t^{prime }) angle }

где угловые скобки обозначают процедуру усреднения.

Если корреляционная функция вычисляется для одного и того же процесса, она называется автокорреляционной:

C a u t o ( t , t ′ ) = ⟨ X ( t ) X ( t ′ ) ⟩ {displaystyle C_{auto}(t,t^{prime })=langle X(t)X(t^{prime }) angle } .

Аналогично можно вычислить корреляционную функцию для процессов, происходящих в разных точках пространства в различные моменты времени:

C ( t , r , t ′ , r ′ ) = ⟨ X ( t , r ) Y ( t ′ , r ′ ) ⟩ {displaystyle C(t,mathbf {r} ,t^{prime },mathbf {r} ^{prime })=langle X(t,mathbf {r} )Y(t^{prime },mathbf {r} ^{prime }) angle } .

Корреляционные функции широко используются в статистической физике и других дисциплинах, изучающих случайные (стохастические) процессы.

Корреляционная функция в статфизике

В статистической физике корреляционная функция описывает, как микроскопические переменные (например, скорости движения атомов) связаны в различных точках пространства в различные моменты времени. Наиболее общее определение имеет следующий вид:

G ( r , R , t , τ ) = ⟨ f 1 ( R , t ) f 2 ( R + r , t + τ ) ⟩ {displaystyle Gleft(mathbf {r} ,mathbf {R} ,t, au ight)=leftlangle f_{1}left(mathbf {R} ,t ight)f_{2}left(mathbf {R} +mathbf {r} ,t+ au ight) ight angle }

где f 1 , f 2 {displaystyle f_{1},f_{2}} — функции, корреляции которых мы хотим изучить, угловые скобки означают усреднение по статистическому ансамблю (например, по каноническому).

Одновременные корреляционные функции

Если мы интересуемся тем, скореллировано ли меняются микроскопические переменные в один и тот же момент времени в различных точках пространства, мы можем рассматривать функции f 1 , f 2 {displaystyle f_{1},f_{2}} в один и тот же момент времени, тогда их корреляционная функция запишется в виде:

G ( r , R , t ) = ⟨ f 1 ( R , t ) f 2 ( R + r , t ) ⟩ {displaystyle Gleft(mathbf {r} ,mathbf {R} ,t ight)=leftlangle f_{1}left(mathbf {R} ,t ight)f_{2}left(mathbf {R} +mathbf {r} ,t ight) ight angle }

такая корреляционная функция называется одновременной.

Аналогично можно ввести одновременную корреляционную функцию для случая, когда функций f 1 , f 2 {displaystyle f_{1},f_{2}} не две, а s штук:

G ( s ) ( r 1 , … , r n ) = ⟨ f 1 ( r 1 , t ) … f s ( r n , t ) ⟩ {displaystyle G^{left(s ight)}left(mathbf {r} _{1},dots ,mathbf {r} _{n} ight)=leftlangle f_{1}left(mathbf {r} _{1},t ight)dots f_{s}left(mathbf {r} _{n},t ight) ight angle }

Пространственные корреляционные функции

Иногда требуется рассмотреть временную эволюцию микроскопических переменных. Для этого используется пространственная корреляционная функция:

G ( R , t , τ ) = ⟨ f 1 ( R , t ) f 2 ( R , t + τ ) ⟩ {displaystyle Gleft(mathbf {R} ,t, au ight)=leftlangle f_{1}left(mathbf {R} ,t ight)f_{2}left(mathbf {R} ,t+ au ight) ight angle }

При этом важно понимать, что несмотря на то, что в равновесии некоторые макроскопические переменные не зависят от времени, микроскопические переменные (такие, как, например, вектор скорости частицы) могут зависеть от времени и поэтому подобные корреляционные функции, являющиеся по сути макроскопическими величинами, тоже могут зависеть от времени.

Примеры

Одним из примеров корреляционных функций может служить радиальная функция распределения.

Магнетизм

Еще одним классическим примером корреляционных функций может служить таковая в системе спинов, где она описывает их среднее по ансамблю скалярное произведение:

G ( r , R ) = ⟨ S ( R ) S ( R + r ) ⟩ − ⟨ S ( R ) ⟩ ⟨ S ( R + r ) ⟩ {displaystyle Gleft(mathbf {r} ,mathbf {R} ight)=leftlangle Sleft(mathbf {R} ight)Sleft(mathbf {R} +mathbf {r} ight) ight angle -leftlangle Sleft(mathbf {R} ight) ight angle leftlangle Sleft(mathbf {R} +mathbf {r} ight) ight angle } где S — спин частицы, скобки обозначают усреднение по ансамблю.

Даже в парамагнитной фазе спины скоррелированы, так как если расстояние между ними мало, то между спинами имеет место взаимодействие, которое и приводит к тому, что спины являются скоррелированными, однако их дальнейшему упорядочиванию препятствует тепловое движение. Поэтому оказывается, что корреляции между спинами экспоненциально уменьшаются с ростом расстояния между ними:

G ( r ) ≈ 1 r 2 − d + η exp ⁡ ( − r ξ ) ) {displaystyle Gleft(mathbf {r} ight)approx {frac {1}{mathbf {r} ^{2-d+eta }}}exp left({frac {-mathbf {r} }{xi }} ight))}

где r {displaystyle mathbf {r} } — расстояние между спинами, d — размерность, η {displaystyle eta } — т. н. критический индекс. При снижении температуры тепловое движение ослабевает, и радиус корреляции ξ {displaystyle xi } cтремится к бесконечности:

ξ ∼ | T − T c | − ν {displaystyle xi sim left|T-T_{c} ight|^{- u }}

где ν {displaystyle u } — другой критический индекс, T c {displaystyle T_{c}} — температура Кюри.

Как следствие данной формулы, в таких системах возникает фазовый переход 2-го рода.

Корреляционная функция плотности числа частиц порядка s

В частности, в качестве примера можно рассмотреть корреляционную функцию плотности числа частиц порядка s - это функция вида

G ( s ) ( r 1 , … , r s ) = ⟨ n ^ ( r 1 ) … n ^ ( r s ) ⟩ {displaystyle G^{left(s ight)}left(mathbf {r} _{1},dots ,mathbf {r} _{s} ight)=leftlangle {hat {n}}left(mathbf {r} _{1} ight)dots {hat {n}}left(mathbf {r} _{s} ight) ight angle }

где величина

n ^ ( r ) = ∑ i = 1 N δ ( r − r i ) {displaystyle {hat {n}}left(mathbf {r} ight)=sum limits _{i=1}^{N}delta (mathbf {r} -mathbf {r} _{i})}

называется микроскопической плотностью числа частиц в том смысле, что интегрируя ее по некому объему V, мы можем найти число частиц в нем:

∫ V n ^ ( r ) d r = N V {displaystyle int _{V}{hat {n}}left(mathbf {r} ight)mathrm {d} mathbf {r} =N_{V}}

В случае s = 2 корреляционная функция плотности числа частиц называется парной.

Связная корреляционная функция плотности числа частиц

Также вводится понятие связной корреляционной функции плотности числа частиц: это такая корреляционная функция, которая стремится к 0, если частицы разделить на 2 группы ( r i 1 … r i l ) {displaystyle left(mathbf {r} _{i_{1}}dots mathbf {r} _{i_{l}} ight)} и ( r j 1 … r j m ) ,   l + m = s {displaystyle left(mathbf {r} _{j_{1}}dots mathbf {r} _{j_{m}} ight), l+m=s} после чего устремить разделяющее эти группы расстояние к бесконечности. Термин «связная» означает, что диаграммное разложение для такой корреляционной функции содержит только связные диаграммы.

Имеет место т. н. принцип ослабления корреляций: многочастичные функции распределения классической системы распадаются на произведения многочастичных функций распределения с меньшим числом аргументов при безграничном увеличении разностей соответствующих аргументов, из которого, в частности, следует:

G ( 2 ) ( r 1 , r 2 ) = G ( 2 ) ( r 1 ) G ( 2 ) ( r 1 ) {displaystyle G^{left(2 ight)}left(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2} ight)=G^{left(2 ight)}left(mathbf {r} _{1} ight)G^{left(2 ight)}left(mathbf {r} _{1} ight)}

Следовательно, можно написать следующее выражение для двучастичной связной корреляционной функции плотности числа частиц:

G c o h ( 2 ) ( r 1 , r 2 ) = G ( 2 ) ( r 1 , r 2 ) − G ( 1 ) ( r 1 ) G ( 1 ) ( r 2 ) {displaystyle G_{coh}^{left(2 ight)}left(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2} ight)=G^{left(2 ight)}left(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2} ight)-G^{left(1 ight)}left(mathbf {r} _{1} ight)G^{left(1 ight)}left(mathbf {r} _{2} ight)}

Аналогично вводятся связные корреляционные функции плотности более высокого порядка числа частиц:

G ( 3 ) ( r 1 , r 2 , r 3 ) = G c o h ( 3 ) ( r 1 , r 2 , r 3 ) + G ( 1 ) ( r 1 ) G ( 1 ) ( r 2 ) G ( 1 ) ( r 3 ) + G c o h ( 2 ) ( r 1 , r 2 ) G ( 1 ) ( r 3 ) + G c o h ( 2 ) ( r 1 , r 3 ) G ( 1 ) ( r 2 ) + G c o h ( 2 ) ( r 2 , r 3 ) G ( 1 ) ( r 1 ) {displaystyle G^{left(3 ight)}left(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},mathbf {r} _{3} ight)=G_{coh}^{left(3 ight)}left(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},mathbf {r} _{3} ight)+G^{left(1 ight)}left(mathbf {r} _{1} ight)G^{left(1 ight)}left(mathbf {r} _{2} ight)G^{left(1 ight)}left(mathbf {r} _{3} ight)+G_{coh}^{left(2 ight)}left(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2} ight)G^{left(1 ight)}left(mathbf {r} _{3} ight)+G_{coh}^{left(2 ight)}left(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{3} ight)G^{left(1 ight)}left(mathbf {r} _{2} ight)+G_{coh}^{left(2 ight)}left(mathbf {r} _{2},mathbf {r} _{3} ight)G^{left(1 ight)}left(mathbf {r} _{1} ight)}

Производящий функционал

Для корреляционных функций плотности числа частиц может быть построен производящий функционал:

G ( a ) = ⟨ e ∫ a ( r ) n ^ ( r ) d r ⟩ {displaystyle Gleft(a ight)=leftlangle e^{int aleft(mathbf {r} ight){hat {n}}left(mathbf {r} ight)mathrm {d} mathbf {r} } ight angle }

Тогда корреляционная функция плотности вводится как вариационная производная от производящего функционала:

G ( s ) ( r 1 , … , r s ) = δ s G ( a ) δ a ( r 1 ) … δ a ( r s ) | a = 0 {displaystyle G^{left(s ight)}left(mathbf {r_{1}} ,dots ,mathbf {r} _{s} ight)=left.{frac {delta ^{s}Gleft(a ight)}{delta aleft(mathbf {r} _{1} ight)dots delta aleft(mathbf {r_{s}} ight)}} ight|_{a=0}}

Аналогично может быть введена связная корреляционная функция:

G c o h ( s ) ( r 1 , … , r s ) = δ s W ( a ) δ a ( r 1 ) … δ a ( r s ) | a = 0 {displaystyle G_{coh}^{left(s ight)}left(mathbf {r} _{1},dots ,mathbf {r} _{s} ight)=left.{frac {delta ^{s}Wleft(a ight)}{delta aleft(mathbf {r} _{1} ight)dots delta aleft(mathbf {r} _{s} ight)}} ight|_{a=0}}

где

W ( a ) = ln ⁡ ( G ( a ) ) {displaystyle Wleft(a ight)=ln left(Gleft(a ight) ight)}

Физический смысл

Корреляционная функция является мерой упорядоченности системы. Она показывает, как микроскопические переменные коррелируют в различные моменты времени в различных точках в среднем.

Физический смысл корреляционной функции плотности числа частиц состоит в том, что она показывает плотность вероятности относительного расположения s частиц. Появление корреляций обусловлено наличием взаимодействия между частицами, за счет которого возникает ближний порядок.

Важно отметить, что имеет место следующее соотношение:

G c o h ( 2 ) ( r 1 , r 2 ) = ⟨ δ n ^ ( r 1 ) δ n ^ ( r 2 ) ⟩ {displaystyle G_{coh}^{left(2 ight)}left(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2} ight)=leftlangle delta {hat {n}}left(mathbf {r} _{1} ight)delta {hat {n}}left(mathbf {r} _{2} ight) ight angle }

где δ n ^ ( r ) = n ^ ( r ) − ⟨ n ^ ( r ) ⟩ {displaystyle delta {hat {n}}left(mathbf {r} ight)={hat {n}}left(mathbf {r} ight)-leftlangle {hat {n}}left(mathbf {r} ight) ight angle } есть флуктуация плотности. Таким образом, связная корреляционная функция плотности числа частиц описывает флуктуации плотности вероятности относительного расположения частиц.

Помимо этого, корреляционные функции в самом общем виде могут использоваться для нахождения прочих флуктуаций, например, флуктуаций числа частиц и температуры.

Корреляционная функция в квантовой теории поля

В квантовой теории поля вводится определение n-точечной корреляционной функции через произведение n хронологически упорядоченных полей: C n ( x 1 , x 2 , … , x n ) := ⟨ T ϕ ( x 1 ) ϕ ( x 2 ) … ϕ ( x n ) ⟩ = ∫ D ϕ T e − S [ ϕ ] ϕ ( x 1 ) … ϕ ( x n ) ∫ D ϕ T e − S [ ϕ ] {displaystyle C_{n}(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}):=leftlangle Tphi (x_{1})phi (x_{2})ldots phi (x_{n}) ight angle ={frac {int {mathcal {D}}phi ;Te^{-S[phi ]}phi (x_{1})ldots phi (x_{n})}{int {mathcal {D}}phi ;Te^{-S[phi ]}}}}

где T {displaystyle T} — Оператор хронологического упорядочивания, S {displaystyle S} — лагранжиан.


Корреляционную функцию также часто называют просто коррелятором.

Корреляционная функция в физике высоких энергий

В физике высоких энергий корреляционная функция есть мера корреляции между некоторыми наблюдаемыми величинами. При изучении адрон-адронных столкновений (например, протон-протонных или ядерно-ядерных) широко используется анализ корреляций между различными наблюдаемыми величинами, например, между поперечными импульсами или множественностями вторичных частиц, рождающихся в результате столкновения.

При изучении подобных процессов принято пользоваться такими переменными, как быстрота или псевдобыстрота. Обычно рассматриваются два интервала (называемых окнами) в пространстве быстрот, расположенных по разные стороны от места столкновения встречных пучков частиц в ускорителе, поэтому возникающие при этом корреляции между наблюдаемыми величинами, которые есть функции быстроты (или псевдобыстроты) часто называют «корреляциями вперед-назад».

Для определенности рассмотрим так называемые «корреляции множественность-множественность» где множественность есть функция, задающая число частиц, имеющих быстроту, принадлежащую некоторому заданному интервалу. В таком случае корреляционная функция вводится как зависимость средней множественности в одном (обычно — правом) быстротном интервале от множественности в другом интервале. В случае линейной корреляционной функции имеем для нее следующее выражение:

⟨ n f ⟩ ⟨ n b ⟩ = a + b ⋅ n b {displaystyle {langle n_{f} angle }_{langle n_{b} angle }=a+bcdot n_{b}}

Данное предположение вполне согласуется с экспериментальными данными, полученными на различных ускорителях элементарных частиц, в том числе SPS и Fermilab.Величина b из формулы выше носит название коэффициента дальних корреляций. Как следствие формулы выше, можно получить следующую формулу для коэффициента корреляций:

b = ⟨ n b n f ⟩ − ⟨ n f ⟩ ⟨ n b ⟩ D n f {displaystyle b={frac {leftlangle n_{b}n_{f} ight angle -leftlangle n_{f} ight angle leftlangle n_{b} ight angle }{D_{n_{f}}}}}

Найденный таким образом коэффициент корреляций позволяет изучать физику явлений, происходящих при столкновениях адронов. В частности, отличие коэффициента корреляции от нуля может означать, что изучаемые величины (в данном случае — множественности в переднем и заднем окне) каким-то образом связаны, но при этом возникающие зависимости не обязательно имеют причинно-следственные связи.

Оценка корреляционных функций и ее особенности

Оценка необходимых для расчётов корреляционных функций входных воздействий САУ производится экспериментально путем наблюдения за их реализациями в течение длительного времени Т и с расчётом по следующей формуле: r x ( τ ) = 1 / T ∫ 0 T x ( t ) x ( t + τ ) d t {displaystyle r_{x}( au )=1/Tint limits _{0}^{T}x(t)x(t+ au )dt}