Число отрезков (теория узлов)

10.03.2021

В теории узлов число отрезков — это инвариант узла, определяющий наименьшее число прямых «отрезков», которые, соединяя конец к концу, образуют узел. Конкретнее, для любого узла K число отрезков K, обозначается stick(K), — это наименьшее число звеньев ломаной, эквивалентной K.

Известные значения

Наименьшее число отрезков для нетривиальноых узлов равно шести. Имеется небольшое число узлов, для которых число отрезков можно определить точно. Гё Таек Джин (Gyo Taek Jin) определил число отрезков (p, q)-торических узлов T(p, q) для случаев, когда параметры p и q не сильно отличаются:

stick ( T ( p , q ) ) = 2 q {displaystyle { ext{stick}}(T(p,q))=2q} если 2 ≤ p < q ≤ 2 p . {displaystyle 2leq p<qleq 2p.}

Тот же самый результат примерно в то же время независимо получила исследовательская группа, возглавляемая Адамсом, но для меньшей области параметров.

Границы

Число отрезков композиции узлов сверху ограничена суммарным числом отрезков исходных узлов:

stick ( K 1 # K 2 ) ≤ stick ( K 1 ) + stick ( K 2 ) − 3 {displaystyle { ext{stick}}(K_{1}#K_{2})leq { ext{stick}}(K_{1})+{ ext{stick}}(K_{2})-3}

Связанные инварианты

Число отрезков узла K связано с его числом пересечений c(K) следующим неравенством:

1 2 ( 7 + 8 c ( K ) + 1 ) ≤ stick ( K ) ≤ 3 2 ( c ( K ) + 1 ) . {displaystyle {frac {1}{2}}(7+{sqrt {8,c(K)+1}})leq { ext{stick}}(K)leq {frac {3}{2}}(c(K)+1).}