Сходимость в Lp

10.03.2021

Сходимость в L p {displaystyle L^{p}} в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

Определение

Пусть ( X , F , μ ) {displaystyle (X,{mathcal {F}},mu )} — пространство с мерой. Тогда пространство L p ≡ L p ( X , F , μ ) {displaystyle L^{p}equiv L^{p}(X,{mathcal {F}},mu )} измеримых функций, таких что их p {displaystyle p} -я степень, где p ⩾ 1 {displaystyle pgeqslant 1} , интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

d ( f , g ) = ‖ f − g ‖ p ≡ ( ∫ X | f ( x ) − g ( x ) | p μ ( d x ) ) 1 / p {displaystyle d(f,g)=|f-g|_{p}equiv left(,int limits _{X}|f(x)-g(x)|^{p},mu (dx), ight)^{1/p}} .

Пусть дана последовательность { f n } n = 1 ∞ ⊂ L p {displaystyle {f_{n}}_{n=1}^{infty }subset L^{p}} . Тогда говорят, что эта последовательность сходится в L p {displaystyle L^{p}} к функции f ∈ L p {displaystyle fin L^{p}} , если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

lim n → ∞ ‖ f n − f ‖ p = 0 {displaystyle lim limits _{n o infty }|f_{n}-f|_{p}=0} .

Пишут: f n ⟶ L p f {displaystyle f_{n}{stackrel {L^{p}}{longrightarrow }}f} . Иногда также используют обозначение f ( x ) = l . i . m . n → ∞ ⁡ f n ( x ) {displaystyle f(x)=mathop {mathrm {l.i.m.} } _{n o infty }f_{n}(x)} — от англ. англ. limit in mean .

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин { X n } n = 1 ∞ ⊂ L p ( Ω , F , P ) {displaystyle {X_{n}}_{n=1}^{infty }subset L^{p}(Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} сходится к X {displaystyle X} из того же пространства, если

lim n → ∞ E | X n − X | p = 0 {displaystyle lim limits _{n o infty }mathbb {E} |X_{n}-X|^{p}=0} .

Пишут: X n ⟶ L p X {displaystyle X_{n}{stackrel {L^{p}}{longrightarrow }}X} .

Терминология

  • Сходимость в пространстве L 1 {displaystyle L^{1}} называется сходимостью в среднем.
  • Сходимость в пространстве L 2 {displaystyle L^{2}} называется сходимость в среднеквадратичном.

Свойства сходимости в L p {displaystyle L^{p}}

  • Единственность предела. Если f n ⟶ L p f {displaystyle f_{n}{stackrel {L^{p}}{longrightarrow }}f} и f n ⟶ L p g {displaystyle f_{n}{stackrel {L^{p}}{longrightarrow }}g} , то f = g {displaystyle f=g} μ {displaystyle mu } -почти всюду ( P {displaystyle mathbb {P} } -почти наверное).
  • Пространство L p {displaystyle L^{p}} полно. Если ‖ f n − f m ‖ p → 0 {displaystyle |f_{n}-f_{m}|_{p} o 0} при min ( n , m ) → ∞ {displaystyle min(n,m) o infty } , то существует f ∈ L p {displaystyle fin L^{p}} , такой что f n ⟶ L p f {displaystyle f_{n}{stackrel {L^{p}}{longrightarrow }}f} .
  • Сходимость в L p {displaystyle L^{p}} влечёт сходимость по мере (по вероятности). Если f n ⟶ L p f {displaystyle f_{n}{stackrel {L^{p}}{longrightarrow }}f} , то f n ⟶ μ f {displaystyle f_{n}{stackrel {mu }{longrightarrow }}f} .