Простой идеал

Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала, — локализация кольца.

Определение

Идеал I {displaystyle I} в кольца A {displaystyle A} называется простым, если факторкольцо A / I {displaystyle A/I} по нему является областью целостности.

Равносильная формулировка: если I ≠ A {displaystyle I eq A} и из a b ∈ I {displaystyle abin I} следует a ∈ I {displaystyle ain I} или b ∈ I {displaystyle bin I} , то I {displaystyle I} являет собой простой идеал.

Связанные понятия

Множество всех простых идеалов кольца A {displaystyle A} образует спектр кольца S p e c A {displaystyle mathrm {Spec} A} . В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.

Свойства

Максимальный идеал I {displaystyle I} кольца A {displaystyle A} (то есть собственный идеал, не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.

Доказательство

Действительно, пусть a b ∈ I {displaystyle abin I} , a ∉ I {displaystyle a otin I} . Рассмотрим идеал J = I + a A {displaystyle J=I+aA} . Поскольку I {displaystyle I} максимален, либо J = I {displaystyle J=I} (что невозможно, поскольку a ∉ I {displaystyle a otin I} ), либо J = A {displaystyle J=A} . Но тогда 1 ∈ I + a A {displaystyle 1in I+aA} , и, следовательно, b ∈ b I + b a A = I {displaystyle bin bI+baA=I} .

Идеал I {displaystyle I} прост тогда и только тогда, когда элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце A {displaystyle A} с единицей задан идеал I {displaystyle I} , не пересекающийся с мультипликативной системой S 0 {displaystyle S_{0}} . Тогда существует простой идеал I 0 {displaystyle I_{0}} , содержащий I {displaystyle I} и не пересекающийся с системой S 0 {displaystyle S_{0}} .
Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал I {displaystyle I} , совпадает с радикалом идеала I {displaystyle I} . Радикал идеала I {displaystyle I} — это множество I = { f ∈ A : ∃ n ∈ N f n ∈ I } {displaystyle {sqrt {I}}={fin A:,exists nin mathbb {N} ,,f^{n}in I}} . Оно также является идеалом кольца A {displaystyle A} .

Доказательство

Пусть J {displaystyle J} — простой идеал, содержащий I {displaystyle I} . Если элемент f {displaystyle f} принадлежит радикалу I {displaystyle {sqrt {I}}} , то некоторая его степень принадлежит идеалу I ⊂ J {displaystyle Isubset J} , поэтому f {displaystyle f} не может принадлежать дополнению к J {displaystyle J} , так как это дополнение — мультипликативная система (если оно содержит f {displaystyle f} , то содержит и все его степени). Значит, f {displaystyle f} принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал I {displaystyle I} .
Обратно: пусть f {displaystyle f} не принадлежит радикалу I {displaystyle {sqrt {I}}} . Тогда множество всех его степеней — мультипликативная система, не пересекающаяся с I {displaystyle I} . Согласно предыдущей теореме, существует простой идеал, содержащий I {displaystyle I} и не содержащий ни одну из степеней элемента f {displaystyle f} . Следовательно, f {displaystyle f} не принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал I {displaystyle I} .

Примеры

В кольце целых чисел A = Z {displaystyle A=mathbb {Z} } каждый простой идеал имеет вид p A {displaystyle pA} , где p {displaystyle p} — простое число.

Доказательство

Пусть a ∈ I {displaystyle ain I} — наименьшее положительное число в I {displaystyle I} . Возьмем произвольное b ∈ I {displaystyle bin I} и поделим с остатком на a {displaystyle a} : b = a ∗ g + r {displaystyle quad b=a*g+r} , где 0 ≤ r < a {displaystyle 0leq r<a} . В силу выбора a {displaystyle a} , имеем r = 0 {displaystyle r=0} , т.е. все элементы I {displaystyle I} делятся на a {displaystyle a} . Таким образом, I = a Z {displaystyle I=amathbb {Z} } .

Положим, теперь I = p A {displaystyle I=pA} . Поскольку из a b ∈ p A {displaystyle abin pA} следует a ∈ p A {displaystyle ain pA} или b ∈ p A {displaystyle bin pA} , p {displaystyle p} — простое число.

В кольце многочленов от одной переменной A = R [ x ] {displaystyle A=mathbb {R} [x]} каждый простой идеал имеет вид p A {displaystyle pA} , где p {displaystyle p} — неприводимый над R {displaystyle mathbb {R} } многочлен.
В кольце многочленов A = Q [ x , y ] {displaystyle A=mathbb {Q} [x,y]} множество I = x A + y A {displaystyle I=xA+yA} является простым идеалом.

Доказательство

Любой элемент a ∈ Q [ x , y ] {displaystyle ain mathbb {Q} [x,y]} можно представить в виде a = a 0 + a 1 x + a 2 y {displaystyle a=a_{0}+a_{1}x+a_{2}y} , где a 1 , a 2 ∈ Q [ x , y ] {displaystyle a_{1},a_{2}in mathbb {Q} [x,y]} — некоторые многочлены, а a 0 ∈ Q {displaystyle a_{0}in mathbb {Q} } определено однозначно элементом a {displaystyle a} . Условие a b ∈ I {displaystyle abin I} равносильно тогда условию a 0 b 0 = 0 {displaystyle a_{0}b_{0}=0} , откуда следует либо a 0 = 0 {displaystyle a_{0}=0} , либо b 0 = 0 {displaystyle b_{0}=0} .

Некоммутативный случай

Понятие простого идеала является частным случаем понятия (некоммутативного) первичного идеала: первичным идеалом I {displaystyle I} кольца A {displaystyle A} называется всякий идеал (не совпадающий со всем кольцом) такой, что если два элемента a , b ∈ A {displaystyle a,bin A} таковы, что ∀ r ∈ A a r b ∈ I {displaystyle forall rin A arbin I} , то или a ∈ I {displaystyle ain I} , или b ∈ I {displaystyle bin I} .