Метод парных точек

10.03.2021

Метод парных точек — метод обработки экспериментальных данных, созданный для оценивания значения углового коэффициента зависимости и определения его погрешности. Из экспериментальных точек на графике берутся те, которые находятся друг от друга примерно на одинаковом расстоянии (это расстояние должно быть максимально возможным).

Определение параметров линейной зависимости из графика

После снятия параметров, строится график зависимости. По получившимся точкам проводится прямая "на глаз", так, чтобы примерное одинаковое количество точек одинаково и на приблизительно равном расстоянии располагалось по обе стороны этой прямой - таким образом усредняются значения.

Выбирается пара точек с координатами x1, y1, x2, y2, для получения уравнений с неизвестными a и b:

y1=ax1+b, y2=ax2+b,

из которых находят:

a = y 1 − y 2 x 1 − x 2 , b = y 2 x 1 − y 1 x 2 x 1 − x 2 {displaystyle a={frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}},quad b={frac {y_{2}x_{1}-y_{1}x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}}

Оценка погрешностей для этих параметров:

Δ a = | a 1 − a 2 2 | , {displaystyle a={igg |}{frac {a_{1}-a_{2}}{2}}{igg |},} {displaystyle quad } Δ b = | b 1 − b 2 2 | {displaystyle b={igg |}{frac {b_{1}-b_{2}}{2}}{igg |}} Данные значения принимают за результат измерения искомого параметра зависимости.

Пример

Пример обработки экспериментальных данных. Найдем угловой коэффициент прямой зависимости удельного сопротивления металла (платины) от температуры. Значения сопротивления и температуры приведены в таблице.

Где < a >= ∑ ( a i ) 7 = 3 , 92 ∗ 10 {displaystyle <a>={frac {sum (a_{i})}{7}}=3,92*10} -10, а ∑ ( a − < a > ) 2 = 11 , 09 ∗ 10 {displaystyle sum (a-<a>)^{2}=11,09*10} -20

Дисперсия равна

σ<a>= ∑ ( a − < a > ) 2 n ( n − 1 ) = 0 , 51 ∗ 10 {displaystyle {sqrt {frac {sum (a-<a>)^{2}}{n(n-1)}}}=0,51*10} -10.

Для n=7 и доверительной вероятности α=0,98 коэффициент Стьюдента t(0,98;7)=2,4. Погрешность Δa=2,4*0,51*10-10= 1,23*10-10 Окончательный результат a=(3,92 ± {displaystyle pm } 1,23)*10-10