Теорема Какутани о неподвижной точке

11.03.2021

Теорема Какутани о неподвижной точке — обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке на многозначные функции.

Формулировка

Пусть S {displaystyle S} — непустое компактное выпуклое подмножество евклидова пространства. Пусть ϕ : S → 2 S {displaystyle phi colon S o 2^{S}} — многозначная функция на S {displaystyle S} , такая, что множество ϕ ( x ) ⊂ S {displaystyle phi (x)subset S} непусто и выпукло для всех x ∈ S {displaystyle xin S} , и имеет замкнутый график, то есть множество

{ ( x , y ) ∈ S × S ∣ y ∈ ϕ ( x ) } {displaystyle {,(x,y)in S imes Smid ,yin phi (x)}}

замкнуто в топологии прямого произведения S × S {displaystyle S imes S} . Тогда ϕ ( x ) {displaystyle phi (x)} имеет неподвижную точку, то есть существует точка x ∈ S {displaystyle xin S} такая, что x ∈ ϕ ( x ) {displaystyle xin phi (x)} .

Замечание

Из следующего примера видно, что требование выпуклости множеств ϕ ( x ) {displaystyle phi (x)} существенно.

Зафиксируем достаточно маленькое положительное число ε {displaystyle varepsilon } и рассмотрим функцию

φ ( x ) = { y ∈ [ 0 , 1 ] ∣ | x − y | ≥ ε } , {displaystyle varphi (x)={,yin [0,1]mid |x-y|geq varepsilon ,},}

определенную на отрезке [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} . Заметим, что множество ϕ ( 1 2 ) {displaystyle phi ({ frac {1}{2}})} не выпукло и эта функция не имеет неподвижной точки, хотя удовлетворяет всем остальным требованиям теоремы.

О доказательствах

  • Теорему Какутани можно свести к теореме Брауэра аппроксимацией.
  • Теорему Какутани можно вывести из леммы Шпернера аналогично теореме Брауэра.

История

Теорема доказана Сидзуо Какутани в 1941 году, чтобы доказать теорему о минимаксе в антагонистической игре.

Она была использована Джоном Нэшем при доказательстве существования равновесия Нэша в знаменитой двухстраничной статье, которая принесла ему Нобелевскую премию по экономике.