Алгебра Валя

23.07.2021

Алгебра Валя (или Алгебра Валентины) — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

1. Условию антисимметричности:

g ( A , B ) = − g ( B , A ) {displaystyle g(A,B)=-g(B,A)}

для всех A , B ∈ M {displaystyle A,Bin M} .

2. Тождеству Валентины:

J ( g ( A 1 , A 2 ) , g ( A 3 , A 4 ) , g ( A 5 , A 6 ) ) = 0 {displaystyle J(g(A_{1},A_{2}),g(A_{3},A_{4}),g(A_{5},A_{6}))=0}

для всех A k ∈ M {displaystyle A_{k}in M} , где k=1,2,…,6, и

J ( A , B , C ) := g ( g ( A , B ) , C ) + g ( g ( B , C ) , A ) + g ( g ( C , A ) , B ) . {displaystyle J(A,B,C):=g(g(A,B),C)+g(g(B,C),A)+g(g(C,A),B).}

3. Условию билинейности:

g ( a A + b B , C ) = a g ( A , C ) + b g ( B , C ) {displaystyle g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)}

для всех A , B , C ∈ M {displaystyle A,B,Cin M} и a , b ∈ F {displaystyle a,bin F} .

Можно сказать, что M является алгеброй Валентины, если коммутант этой алгебры является лиевой подалгеброй. Любая алгебра Ли является алгеброй Валентины.

Билинейная мультипликативная операция в алгебре Валентины, так же как в алгебре Ли, не является ассоциативной операцией.

Существует следующая взаимосвязь между коммутантно-ассоциативной алгеброй и алгеброй Валя. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутирования [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает её в алгебру M ( − ) {displaystyle M^{(-)}} . При этом, если M является коммутантно-ассоциативной алгеброй, то M ( − ) {displaystyle M^{(-)}} будет алгеброй Валя. Алгебра Валя является обобщением алгебры Ли, которая является частным примером алгебры Валентины.

Алгебры Валя могут быть использованы для описания диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Примеры алгебры Валентины

(1) Любая конечная алгебра Валя является касательной алгеброй аналитических локальных коммутантно-ассоциативных луп (луп Валя), аналогично тому как конечные алгебры Ли являются касательными алгебрами аналитических локальных групп (групп Ли). Это утверждение является аналогом соответствия между аналитическими локальными группами (группами Ли) и алгебрами Ли.

(2) Билинейная операция для дифференциальных 1-форм

α = F k ( x ) d x k , β = G k ( x ) d x k {displaystyle alpha =F_{k}(x),dx^{k},quad eta =G_{k}(x),dx^{k}}

на симплектическом многообразии, определяемая по правилу

( α , β ) 0 = d Ψ ( α , β ) + Ψ ( d α , β ) + Ψ ( α , d β ) , {displaystyle (alpha ,eta )_{0}=dPsi (alpha ,eta )+Psi (dalpha ,eta )+Psi (alpha ,deta ),}

где ( α , β ) {displaystyle (alpha ,eta )} — 1-форма. Эта билинейная операция на множестве незамкнутых 1-форм задает алгебру Ли.

Если α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } являются замкнутыми 1-формами, то d α = d β = 0 {displaystyle dalpha =deta =0} и

( α , β ) = d Ψ ( α , β ) . {displaystyle (alpha ,eta )=dPsi (alpha ,eta ).}

Эта билинейная операция на множестве замкнутых 1-форм задает алгебру Ли.

Эта билинейная операция на множестве незамкнутых дифференциальных 1-форм задает уже не алгебру Ли, а алгебру Валентины, которая не является алгеброй Ли.