Момент инерции

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от типа базового множества до которого отсчитываются расстояния от элементарных масс.

Осевой момент инерции

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

J a = ∑ i = 1 n m i r i 2 , {displaystyle J_{a}=sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2},}

где:

• mi — масса i-й точки,
• ri — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

J a = ∫ ( m ) r 2 d m = ∫ ( V ) ρ r 2 d V , {displaystyle J_{a}=int limits _{(m)}r^{2}dm=int limits _{(V)} ho r^{2}dV,}

где:

dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV, ρ — плотность, r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

J a = ρ ∫ ( V ) r 2 d V . {displaystyle J_{a}= ho int limits _{(V)}r^{2}dV.}

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Гюйгенса — Штейнера, момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

J = J c + m d 2 , {displaystyle J=J_{c}+md^{2},}

где m — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m ( l 2 ) 2 = 1 3 m l 2 . {displaystyle J=J_{c}+md^{2}={frac {1}{12}}ml^{2}+mleft({frac {l}{2}} ight)^{2}={frac {1}{3}}ml^{2}.}

Осевые моменты инерции некоторых тел

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . ( 1 ) . {displaystyle J=sum dJ_{i}=sum R_{i}^{2}dm.qquad (1).}

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . {displaystyle J=sum R^{2}dm=R^{2}sum dm=mR^{2}.}

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . {displaystyle dm= ho dV= ho cdot 2pi rhdr;qquad dJ=r^{2}dm=2pi ho hr^{3}dr.}

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = {displaystyle J=int _{R_{1}}^{R}dJ=2pi ho hint _{R_{1}}^{R}r^{3}dr=} = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h ( R 4 − R 1 4 ) = 1 2 π ρ h ( R 2 − R 1 2 ) ( R 2 + R 1 2 ) . {displaystyle =2pi ho hleft.{frac {r^{4}}{4}} ight|_{R_{1}}^{R}={frac {1}{2}}pi ho hleft(R^{4}-R_{1}^{4} ight)={frac {1}{2}}pi ho hleft(R^{2}-R_{1}^{2} ight)left(R^{2}+R_{1}^{2} ight).}

Поскольку объём и масса кольца равны

V = π ( R 2 − R 1 2 ) h ; m = ρ V = π ρ ( R 2 − R 1 2 ) h , {displaystyle V=pi left(R^{2}-R_{1}^{2} ight)h;qquad m= ho V=pi ho left(R^{2}-R_{1}^{2} ight)h,}

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

J = 1 2 m ( R 2 + R 1 2 ) . {displaystyle J={frac {1}{2}}mleft(R^{2}+R_{1}^{2} ight).}

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

J = 1 2 m R 2 . {displaystyle J={frac {1}{2}}mR^{2}.}

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

r = R h H , {displaystyle r={frac {Rh}{H}},}

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; {displaystyle dm= ho dV= ho cdot pi r^{2}dh;} d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ ( R h H ) 4 d h ; {displaystyle dJ={frac {1}{2}}r^{2}dm={frac {1}{2}}pi ho r^{4}dh={frac {1}{2}}pi ho left({frac {Rh}{H}} ight)^{4}dh;}

Интегрируя, получим

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ ( R H ) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ ( R H ) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = ( ρ ⋅ 1 3 π R 2 H ) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . {displaystyle {egin{aligned}J=int _{0}^{H}dJ={frac {1}{2}}pi ho left({frac {R}{H}} ight)^{4}int _{0}^{H}h^{4}dh={frac {1}{2}}pi ho left({frac {R}{H}} ight)^{4}left.{frac {h^{5}}{5}} ight|_{0}^{H}=={frac {1}{10}}pi ho R^{4}H=left( ho cdot {frac {1}{3}}pi R^{2}H ight){frac {3}{10}}R^{2}={frac {3}{10}}mR^{2}.end{aligned}}}

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

r = R 2 − h 2 . {displaystyle r={sqrt {R^{2}-h^{2}}}.}

Масса и момент инерции такого диска составят

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; {displaystyle dm= ho dV= ho cdot pi r^{2}dh;} d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ ( R 2 − h 2 ) 2 d h = 1 2 π ρ ( R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4 ) d h . {displaystyle dJ={frac {1}{2}}r^{2}dm={frac {1}{2}}pi ho r^{4}dh={frac {1}{2}}pi ho left(R^{2}-h^{2} ight)^{2}dh={frac {1}{2}}pi ho left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4} ight)dh.}

Момент инерции шара найдём интегрированием:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R ( R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4 ) d h = = π ρ ( R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5 ) | 0 R = π ρ ( R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5 ) = 8 15 π ρ R 5 = = ( 4 3 π R 3 ρ ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . {displaystyle {egin{aligned}J&=int _{-R}^{R}dJ=2int _{0}^{R}dJ=pi ho int _{0}^{R}left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4} ight)dh=&=pi ho left.left(R^{4}h-{frac {2}{3}}R^{2}h^{3}+{frac {1}{5}}h^{5} ight) ight|_{0}^{R}=pi ho left(R^{5}-{frac {2}{3}}R^{5}+{frac {1}{5}}R^{5} ight)={frac {8}{15}}pi ho R^{5}=&=left({frac {4}{3}}pi R^{3} ho ight)cdot {frac {2}{5}}R^{2}={frac {2}{5}}mR^{2}.end{aligned}}}

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . {displaystyle J_{0}={frac {2}{5}}MR^{2}={frac {8}{15}}pi ho R^{5}.}

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

J = d J 0 d R d R = d d R ( 8 15 π ρ R 5 ) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = ( ρ ⋅ 4 π R 2 d R ) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . {displaystyle {egin{aligned}J&={frac {dJ_{0}}{dR}}dR={frac {d}{dR}}left({frac {8}{15}}pi ho R^{5} ight)dR=&={frac {8}{3}}pi ho R^{4}dR=left( ho cdot 4pi R^{2}dR ight){frac {2}{3}}R^{2}={frac {2}{3}}mR^{2}.end{aligned}}}

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобьём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . {displaystyle dm={frac {mdr}{l}};qquad dJ=r^{2}dm={frac {mr^{2}dr}{l}}.}

Интегрируя, получим

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . {displaystyle J=int _{-l/2}^{l/2}dJ=2int _{0}^{l/2}dJ={frac {2m}{l}}int _{0}^{l/2}r^{2}dr={frac {2m}{l}}left.{frac {r^{3}}{3}} ight|_{0}^{l/2}={frac {2m}{l}}{frac {l^{3}}{24}}={frac {1}{12}}ml^{2}.}

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l⁄2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m ( l 2 ) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . {displaystyle J=J_{0}+mr^{2}=J_{0}+mleft({frac {l}{2}} ight)^{2}={frac {1}{12}}ml^{2}+{frac {1}{4}}ml^{2}={frac {1}{3}}ml^{2}.}

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

J x y = ∫ ( m ) x y d m = ∫ ( V ) x y ρ d V , {displaystyle J_{xy}=int limits _{(m)}xydm=int limits _{(V)}xy ho dV,} J x z = ∫ ( m ) x z d m = ∫ ( V ) x z ρ d V , {displaystyle J_{xz}=int limits _{(m)}xzdm=int limits _{(V)}xz ho dV,} J y z = ∫ ( m ) y z d m = ∫ ( V ) y z ρ d V , {displaystyle J_{yz}=int limits _{(m)}yzdm=int limits _{(V)}yz ho dV,}

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрические моменты инерции

Геометрический момент инерции объёма относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой:

J V a = ∫ ( V ) r 2 d V , {displaystyle J_{Va}=int limits _{(V)}r^{2}dV,}

где, как и ранее r — расстояние от элемента dV до оси a.

Размерность JVa — длина в пятой степени ( d i m J V a = L 5 {displaystyle mathrm {dim} J_{Va}=mathrm {L^{5}} } ), соответственно единица измерения СИ — м5.

Геометрический момент инерции площади относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой:

J S a = ∫ ( S ) r 2 d S , {displaystyle J_{Sa}=int limits _{(S)}r^{2}dS,}

где интегрирование выполняется по поверхности S, а dS — элемент этой поверхности.

Размерность JSa — длина в четвёртой степени ( d i m J S a = L 4 {displaystyle mathrm {dim} J_{Sa}=mathrm {L^{4}} } ), соответственно единица измерения СИ — м4. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см4.

Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:

W = J S a r m a x . {displaystyle W={frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.}

Здесь rmax — максимальное расстояние от поверхности до оси.

Момент инерции относительно плоскости

Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости.

Если через произвольную точку O {displaystyle O} провести координатные оси x , y , z {displaystyle x,y,z} , то моменты инерции относительно координатных плоскостей x O y {displaystyle xOy} , y O z {displaystyle yOz} и z O x {displaystyle zOx} будут выражаться формулами:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2   , {displaystyle J_{xOy}=sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2} ,} J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2   , {displaystyle J_{yOz}=sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2} ,} J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2   . {displaystyle J_{zOx}=sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}^{2} .}

В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (момент инерции относительно точки O, момент инерции относительно полюса, полярный момент инерции) J O {displaystyle J_{O}} — это величина, определяемая выражением:

J a = ∫ ( m ) r 2 d m = ∫ ( V ) ρ r 2 d V , {displaystyle J_{a}=int limits _{(m)}r^{2}dm=int limits _{(V)} ho r^{2}dV,}

где:

• d m = ρ d V {displaystyle dm= ho dV} — масса малого элемента объёма тела d V {displaystyle dV} ,
• ρ {displaystyle ho } — плотность,
• r {displaystyle r} — расстояние от элемента d V {displaystyle dV} до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей:

J O = 1 2 ( J x + J y + J z ) , {displaystyle J_{O}={frac {1}{2}}left(J_{x}+J_{y}+J_{z} ight),} J O = J x O y + J y O z + J x O z . {displaystyle J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.}

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 {displaystyle {vec {s}}=leftVert s_{x},s_{y},s_{z} ightVert ^{T},leftvert {vec {s}} ightvert =1} , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , {displaystyle I_{s}={vec {s}}^{T}cdot {hat {J}}cdot {vec {s}},qquad } (1)

где J ^ {displaystyle {hat {J}}} — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры 3 × 3 {displaystyle 3 imes 3} и состоит из компонент центробежных моментов:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , {displaystyle {hat {J}}=leftVert {egin{array}{ccc}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}-J_{yx}&J_{yy}&-J_{yz}-J_{zx}&-J_{zy}&J_{zz}end{array}} ightVert ,} J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , {displaystyle J_{xy}=J_{yx},quad J_{xz}=J_{zx},quad J_{zy}=J_{yz},quad } J x x = ∫ ( m ) ( y 2 + z 2 ) d m , J y y = ∫ ( m ) ( x 2 + z 2 ) d m , J z z = ∫ ( m ) ( x 2 + y 2 ) d m . {displaystyle J_{xx}=int limits _{(m)}(y^{2}+z^{2})dm,quad J_{yy}=int limits _{(m)}(x^{2}+z^{2})dm,quad J_{zz}=int limits _{(m)}(x^{2}+y^{2})dm.}

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора J ^ {displaystyle {hat {J}}} :

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , {displaystyle {hat {J}}_{d}={hat {Q}}^{T}cdot {hat {J}}cdot {hat {Q}},} J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , {displaystyle {hat {J}}_{d}=leftVert {egin{array}{ccc}J_{X}&0&0&J_{Y}&0&0&J_{Z}end{array}} ightVert ,}

где Q ^ {displaystyle {hat {Q}}} — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины J X , J Y , J Z {displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}} — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , {displaystyle I_{s}=J_{X}cdot s_{x}^{2}+J_{Y}cdot s_{y}^{2}+J_{Z}cdot s_{z}^{2},}

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на I s {displaystyle I_{s}}

( s x I s ) 2 ⋅ J X + ( s y I s ) 2 ⋅ J Y + ( s z I s ) 2 ⋅ J Z = 1 {displaystyle left({s_{x} over {sqrt {I_{s}}}} ight)^{2}cdot J_{X}+left({s_{y} over {sqrt {I_{s}}}} ight)^{2}cdot J_{Y}+left({s_{z} over {sqrt {I_{s}}}} ight)^{2}cdot J_{Z}=1}

и произведя замены:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , {displaystyle xi ={s_{x} over {sqrt {I_{s}}}},eta ={s_{y} over {sqrt {I_{s}}}},zeta ={s_{z} over {sqrt {I_{s}}}},}

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах ξ η ζ {displaystyle xi eta zeta } :

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. {displaystyle xi ^{2}cdot J_{X}+eta ^{2}cdot J_{Y}+zeta ^{2}cdot J_{Z}=1.}

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

r 2 = ξ 2 + η 2 + ζ 2 = ( s x I s ) 2 + ( s y I s ) 2 + ( s z I s ) 2 = 1 I s . {displaystyle r^{2}=xi ^{2}+eta ^{2}+zeta ^{2}=left({s_{x} over {sqrt {I_{s}}}} ight)^{2}+left({s_{y} over {sqrt {I_{s}}}} ight)^{2}+left({s_{z} over {sqrt {I_{s}}}} ight)^{2}={1 over I_{s}}.}