Константа Рамануджана — Зольднера

04.10.2021

Константа Рамануджана — Зольднера (также константа Зольднера) это значение единственного положительного корня интегрального логарифма. Названа в честь Рамануджана и Зольднера.

Её значение равно примерно μ ≈ 1.45136923488338105028396848589202744949303228… последовательность A070769 в OEIS.

Поскольку интегральный логарифм определён как

l i ( x ) = ∫ 0 x d t ln ⁡ t , {displaystyle mathrm {li} (x)=int _{0}^{x}{frac {dt}{ln t}},}

верно

l i ( x ) = l i ( x ) − l i ( μ ) {displaystyle mathrm {li} (x);=;mathrm {li} (x)-mathrm {li} (mu )} ∫ 0 x d t ln ⁡ t = ∫ 0 x d t ln ⁡ t − ∫ 0 μ d t ln ⁡ t {displaystyle int _{0}^{x}{frac {dt}{ln t}}=int _{0}^{x}{frac {dt}{ln t}}-int _{0}^{mu }{frac {dt}{ln t}}} l i ( x ) = ∫ μ x d t ln ⁡ t , {displaystyle mathrm {li} (x)=int _{mu }^{x}{frac {dt}{ln t}},}

Это облегчает вычисление интеграла. Поскольку интегральная показательная функция удовлетворяет равенству

l i ( x ) = E i ( ln ⁡ x ) , {displaystyle mathrm {li} (x);=;mathrm {Ei} (ln {x}),}

то единственный положительный корень интегральной показательной функции равен натуральному логарифму константы Рамануджана. Его величина ln(μ) ≈ 0.372507410781366634461991866… последовательность A091723 в OEIS.