Плотность потока

08.10.2021

Плотность потока — вектор, сонаправленный со скоростью v → {displaystyle {vec {v}}} переноса рассматриваемой скалярной величины f {displaystyle f} в данной точке пространства и характеризующий количество этой величины, которое проходит за единицу времени через единичную площадку, содержащую данную точку и ортогональную v → {displaystyle {vec {v}}} . Находится как

F → = d f d A d t ⋅ v → v = ρ f v → {displaystyle {vec {F}}={frac {df}{dA,dt}}cdot {frac {vec {v}}{v}}= ho _{f},{vec {v}}} ,

где d A {displaystyle dA} — элемент площади, t {displaystyle t} — время, ρ f = d f / d V {displaystyle ho _{f}=df/dV} ( d V {displaystyle dV} — элемент объёма). Термин используется во многих разделах физики, в частности, в гидроаэродинамике, в анализе явлений переноса при теплообмене, массообмене и в электродинамике. Может рассматриваться перенос массы, заряда, энергии, спина и других величин.

В СИ плотность потока имеет размерность переносимой величины f {displaystyle f} , делённой на квадратный метр и на секунду. Скажем, если речь идёт о переносе массы, то f {displaystyle f} — это масса M {displaystyle M} , тогда ρ f {displaystyle ho _{f}} измеряется в кг/м3, а плотность потока обретает размерность кг/м2/с. Установившегося буквенного обозначения для плотности потока нет.

Нередко перенос величины осуществляется или может считаться осуществляющимся дискретными «носителями», например молекулами, каждый из который даёт вклад f i {displaystyle f_{i}} и движется со скоростью v → i {displaystyle {vec {v}}_{i}} . Плотность потока в заданной точке при этом вычисляется как

F → = d d V ∑ i = 1 N f i v → i = f o b e n v → {displaystyle {vec {F}}={frac {d}{dV}}sum _{i=1}^{N}f_{i},{vec {v}}_{i}=f_{obe}n,{vec {v}}} ,

где d V {displaystyle dV} — малый объём, содержащий рассматриваемую точку. Здесь f o n e =< f i > {displaystyle f_{one}=<f_{i}>} — среднее значение вклада носителя, а в качестве скорости подставляется величина v → =< f i v → i > / f o n e {displaystyle {vec {v}}=<f_{i},{vec {v}}_{i}>/f_{one}} . Через n {displaystyle n} (м-3; n = d N / d V {displaystyle n=dN/dV} , где N {displaystyle N} — число частиц в объёме) обозначена концентрация носителей. Эквивалентность приведённых выражений для F → {displaystyle {vec {F}}} обеспечивается тем, что ρ f = f o n e n {displaystyle ho _{f}=f_{one}n} . При наличии нескольких «сортов» частиц, несущих вклад f o n e , s {displaystyle f_{one,s}} и имеющих среднюю скорость v → s {displaystyle {vec {v}}_{s}} будет

F → = ∑ s f o n e , s d N s d A d t ⋅ v → s v s = ∑ s f o n e , s n s v → s {displaystyle {vec {F}}=sum _{s}{frac {f_{one,s}dN_{s}}{dA,dt}}cdot {frac {{vec {v}}_{s}}{v_{s}}}=sum _{s}f_{one,s},n_{s}{vec {v}}_{s}} ,

где символом s {displaystyle s} нумеруются сорта. В простейшей ситуации наличествует только один сорт и нет суммирования. Пример конкретизации выписанных формул даёт выражение для плотности тока j → = q n v → {displaystyle {vec {j}}=qn{vec {v}}} (переносимая величина — электрический заряд, заряд одного носителя составляет q {displaystyle q} ); здесь j → {displaystyle {vec {j}}} соответствует F → {displaystyle {vec {F}}} , а q = f o n e {displaystyle q=f_{one}} .

Интеграл плотности потока по некоторой поверхности Φ = ∫ S F → ⋅ d S → {displaystyle Phi =int _{S}{vec {F}}cdot d{vec {S}}} носит название потока.

Модуль интеграла плотности потока по некоторому промежутку времени | ∫ 0 T F → d t | {displaystyle left|int _{0}^{T}{vec {F}},mathrm {d} t ight|} называется флюенсом.

Если перенос происходит в плоскости, то есть анализируется двумерная система, можно ввести "одномерную" (в единицах f {displaystyle f} , делённых на метр и на секунду) плотность потока F → = d f / d L / d t v → / v {displaystyle {vec {F}}=df/dL/dt,,{vec {v}}/v} .