Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности

Теорема Вейерштрасса об ограниченной сверху возрастающей последовательности (или ограниченной снизу убывающей последовательности) утверждает, что любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или ограниченная снизу монотонно убывающая) последовательность имеет предел, причём этот предел равен её точной верхней (или нижней) грани. Несмотря на прозрачность и очевидность доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих последовательностей или хотя бы доказательства их существования.

Формулировка и доказательство

Пусть x n {displaystyle {x_{n}}} — ограниченная возрастающая последовательность. Тогда множество { x n } n ∈ N {displaystyle {x_{n}}_{nin mathbb {N} }} ограничено, следовательно, по теореме о супремуме, имеет супремум. Обозначим его через S {displaystyle S} . Тогда lim n → ∞ x n = S {displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=S} . Действительно, так как S {displaystyle S} — супремум множества { x n } n ∈ N {displaystyle {x_{n}}_{nin mathbb {N} }} , то для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует номер N {displaystyle N} такой, что S − ε < x N ⩽ S {displaystyle S-varepsilon <x_{N}leqslant S} . Тогда для любого n > N {displaystyle n>N} имеем: S − ε < x N ⩽ x n ⩽ S < S + ε {displaystyle S-varepsilon <x_{N}leqslant x_{n}leqslant S<S+varepsilon } . Тогда | x n − S | < ε {displaystyle left|{x_{n}-S} ight|<varepsilon } при n > N {displaystyle n>N} . Следовательно, lim n → ∞ x n = S {displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=S} . Теорема доказана.