Двоично-рациональное число

23.12.2021

Двоично-рациональные числа — рациональные числа, знаменатель которых представляет собой степень двойки. Иначе говоря, числа вида m 2 n {displaystyle { frac {m}{2^{n}}}} , где m {displaystyle m} целое число, а n {displaystyle n} натуральное. Например, 1/2 и 3/8 двоично-рациональны, а 1/3 нет. Именно эти числа имеют конечные представления в двоичной системе счисления.

Свойства

  • Двоично-рациональные числа замкнуты относительно сложения, вычитания, и умножения, но не деления.
    • В частности, двоично-рациональные числа образуют подкольцо рациональных чисел.
  • Двоично-рациональные числа образуют всюду плотное множество на вещественной прямой.

Применение

  • Дюйм обычно подразделяется двоично-рациональными числами.
  • Древние египтяне использовали двоично-рациональные числа, со знаменателями до 64.
  • Размер в Западной музыкальной нотации традиционно записывают двоично-рациональными числами (например: 2/2, 4/4, 6/8...).
    • Другие варианты, так называемые «иррациональные» размеры были введены композиторами в XX веке, не соответствуют иррациональным числам, потому что они по-прежнему состоят из соотношений целых чисел. По-настоящему иррациональный размер используется редко, но один пример, 42 / 1 {displaystyle {sqrt {42}}/1} , появляется у Нанкарроу в «Этюдах для механического пианино».
  • В качестве типа данных, используемых компьютерами, числа с плавающей запятой часто определяются как целые числа, умноженные на положительные или отрицательные степени двойки, и таким образом все числа, которые могут быть представлены, например, в формате IEEE с плавающей точкой являются двоично-рациональными.
    • То же самое верно для большинства типов данных с фиксированной точкой.