Экситон Ванье — Мотта

Экситон Ванье — Мотта — экситон, радиус которого значительно превышает характерный период решётки кристалла (в отличие от экситонов Френкеля).

Экситоны Ванье — Мотта существуют в полупроводниках за счёт высокой диэлектрической проницаемости последних. Высокая диэлектрическая проницаемость приводит к ослаблению электростатического притяжения между электроном и дыркой, что и приводит к большому радиусу экситона.

О происхождении термина

Само понятие экситон было предложено Френкелем в 1931 году. Френкель высказал и обосновал идею существования таких квазичастиц. Представление об экситоне большого радиуса, как об одном из предельных случаев экситона вообще, базируется на теоретической работе Ванье, но окончательно сформулировано в работах Мотта. Поэтому такая квазичастица получила название экситона Ванье — Мотта.

Энергетический спектр экситона

Трёхмерный случай

Для расчёта энергетического спектра экситона Ванье — Мотта воспользуемся простейшей моделью. Поскольку расстояние между электроном и дыркой велико, то можно пользоваться методом эффективной массы. Будем считать массы электрона и дырки изотропными, а взаимодействие между ними — определяемым законом Кулона. Тогда уравнение Шрёдингера для такой системы будет иметь вид:

( p ^ e 2 2 m e + p ^ h 2 2 m h − e 2 ε r ) Ψ = E Ψ {displaystyle left({frac {{hat {p}}_{e}^{2}}{2m_{e}}}+{frac {{hat {p}}_{h}^{2}}{2m_{h}}}-{frac {e^{2}}{{varepsilon }r}} ight)Psi =EPsi }

Замена переменных, разделяющая поступательное движение центра масс и вращательное движение частиц вокруг центра масс, приводит уравнение к виду

( p ^ e x 2 2 μ − e 2 ε r ) Φ ( r ) = ( E − ℏ 2 k e x 2 2 M ) Φ ( r ) {displaystyle left({frac {{hat {p}}_{ex}^{2}}{2mu }}-{frac {e^{2}}{{varepsilon }r}} ight)Phi (mathbf {r} )=left(E-{frac {hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}} ight)Phi (mathbf {r} )}

Здесь M = m e + m h {displaystyle M=m_{e}+m_{h}} , μ = ( 1 m e + 1 m h ) − 1 {displaystyle mu =left({ frac {1}{m_{e}}}+{ frac {1}{m_{h}}} ight)^{-1}} — приведённая масса, r = r e − r h {displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} _{e}-mathbf {r} _{h}} .

Данное уравнение аналогично уравнению Шрёдингера для атома водорода. Отсюда следует, что дисперсионная зависимость энергии экситона имеет вид

E n ( k e x ) = − μ e 4 2 ℏ 2 ε 2 n 2 + ℏ 2 k e x 2 2 M = − R e x n 2 + ℏ 2 k e x 2 2 M {displaystyle E_{n}(k_{ex})=-{frac {{mu }e^{4}}{2hbar ^{2}varepsilon ^{2}n^{2}}}+{frac {hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}}=-{frac {R_{ex}}{n^{2}}}+{frac {hbar ^{2}k_{ex}^{2}}{2M}}}

Величина R e x = μ e 4 2 ℏ 2 ε 2 {displaystyle R_{ex}={ frac {mu e^{4}}{2hbar ^{2}varepsilon ^{2}}}} по аналогии с Ридбергом для атома водорода называется экситонным Ридбергом.

Двумерный случай

Влияние экранирования

При больших концентрациях носителей заряда в полупроводнике существенным становится экранирование кулоновского взаимодействия и может происходить разрушение экситонов Ванье — Мотта. При наличии свободных носителей потенциал кулоновского взаимодействия имеет вид

V ( r ) = e 2 ε r e − r / r D {displaystyle V(r)={e^{2} over varepsilon r}e^{-r/r_{D}}} ,

где r D = E k T / 4 π e 2 N {displaystyle r_{D}={mathcal {E}}kT/4pi e^{2}N} — дебаевский радиус экранирования. Здесь N {displaystyle N} — концентрация свободных носителей заряда.

Если радиус первого экситонного состояния с n = 1 {displaystyle n=1} a e x = ℏ 2 ε μ e 2 {displaystyle a_{ex}={ frac {hbar ^{2}varepsilon }{mu e^{2}}}} (боровский радиус экситона Ванье — Мотта), то условие исчезновения экситонной серии вследствие экранировки: a e x > r D {displaystyle a_{ex}>r_{D}} . Для экситона Ванье — Мотта в кристаллах G e {displaystyle Ge} это условие выполняется при концентрации доноров ~1017 см−3 и Т=77 К. Таким образом, для наблюдения слабосвязанных экситонов в полупроводниках необходимы низкие температуры и чистые кристаллы.

Проявления экситонного спектра

Экситоны Ванье — Мотта отчётливо проявляются в спектрах поглощения полупроводников в виде узких линий, сдвинутых на величину E n {displaystyle E_{n}} ниже края оптического поглощения. Водородоподобный спектр экситонов Ванье — Мотта впервые наблюдался в спектре поглощения Cu2O в 1952 году E. Ф. Гроссом и H. А. Карыевым и независимо — M. Хаяси (M. Hayasi) и К. Кацуки (К. Katsuki), но экситонная интерпретация его в работе японских авторов отсутствовала. Экситоны проявляются также в спектрах люминесценции, в фотопроводимости, в эффекте Штарка и эффекте Зеемана.