p-адическое число

20.03.2022

p-адическое число — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p.

p-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году.

Поле p-адических чисел обычно обозначается Q p {displaystyle mathbb {Q} _{p}} или Q p {displaystyle mathbf {Q} _{p}} .

Алгебраическое построение

Целые p-адические числа

Стандартное определение

Целым p-адическим числом для заданного простого p называется бесконечная последовательность x = { x 1 , x 2 , … } {displaystyle x={x_{1},x_{2},ldots }} вычетов x n {displaystyle x_{n}} по модулю p n {displaystyle p^{n}} , удовлетворяющих условию:

x n ≡ x n + 1 ( mod p n ) . {displaystyle x_{n}equiv x_{n+1}{pmod {p^{n}}}.}

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} .

Определение через проективный предел

В терминах проективных пределов кольцо целых p {displaystyle p} -адических чисел определяется как предел

lim ← Z / p n Z {displaystyle lim _{leftarrow }mathbb {Z} /{p^{n}}mathbb {Z} }

колец Z / p n Z {displaystyle mathbb {Z} /{p^{n}}mathbb {Z} } вычетов по модулю p n {displaystyle p^{n}} относительно естественных проекций Z / p n + 1 Z → Z / p n Z {displaystyle mathbb {Z} /{p^{n+1}}mathbb {Z} o mathbb {Z} /{p^{n}}mathbb {Z} } .

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа p {displaystyle p} , но и любого составного числа m {displaystyle m} — получится т. н. кольцо m {displaystyle m} -адических чисел, но это кольцо в отличие от Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

Свойства

Обычные целые числа вкладываются в Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} очевидным образом: x = { x , x , … } {displaystyle x={x,x,ldots }} и являются подкольцом.

Беря в качестве элемента класса вычетов число a n = x n mod p n {displaystyle a_{n}=x_{n},{mod {,}}{p^{n}}} (таким образом, 0 ≤ a n < p n {displaystyle 0leq a_{n}<p^{n}} ), мы можем записать каждое целое p-адическое число в виде x = { a 1 , a 2 , … } {displaystyle x={a_{1},a_{2},ldots }} однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое a n {displaystyle a_{n}} в p-ичной системе счисления a n = b n … b 2 b 1 {displaystyle a_{n}=b_{n}ldots b_{2}b_{1}} и, учитывая, что a n ≡ a n + 1 ( mod p n ) {displaystyle a_{n}equiv a_{n+1}{pmod {p^{n}}}} , возможно всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде x = { b 1 , b 2 b 1 , b 3 b 2 b 1 , … } {displaystyle x={b_{1},b_{2}b_{1},b_{3}b_{2}b_{1},ldots }} или записать в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления x = { … b n … b 2 b 1 } {displaystyle x={ldots b_{n}ldots b_{2}b_{1}}} . Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

p-адические числа

Определение как поля частных

p-адическим числом называется элемент поля частных Q p {displaystyle mathbb {Q} _{p}} кольца Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел.

Свойства

Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.

Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число, не кратное p, обратимо в кольце Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} , а кратное p однозначно записывается в виде x p n {displaystyle xp^{n}} , где x не кратно p и поэтому обратимо, а n > 0 {displaystyle n>0} . Поэтому любой ненулевой элемент поля Q p {displaystyle mathbb {Q} _{p}} может быть записан в виде x p n {displaystyle xp^{n}} , где x не кратно p, а n любое; если n отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности x = { … b k … b 2 b 1 , b 0 b − 1 … b n + 1 } {displaystyle x={ldots b_{k}ldots b_{2}b_{1},b_{0}b_{-1}ldots b_{n+1}}} , то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическое построение

Любое рациональное число r {displaystyle r} можно представить как r = p n a b {displaystyle r=p^{n}{frac {a}{b}}} где a {displaystyle a} и b {displaystyle b} целые числа, не делящиеся на p {displaystyle p} , а n {displaystyle n} — целое. Тогда | r | p {displaystyle |r|_{p}} — p {displaystyle p} -адическая норма r {displaystyle r} — определяется как p − n {displaystyle p^{-n}} . Если r = 0 {displaystyle r=0} , то | r | p = 0 {displaystyle |r|_{p}=0} .

Поле p {displaystyle p} -адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой d p {displaystyle d_{p}} , определённой p {displaystyle p} -адической нормой: d p ( x , y ) = | x − y | p {displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}} . Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма | r | p {displaystyle |r|_{p}} продолжается по непрерывности до нормы на Q p {displaystyle mathbb {Q} _{p}} .

Свойства

Каждый элемент x поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда

x = ∑ i = n 0 ∞ a i p i {displaystyle x=sum _{i=n_{0}}^{infty }a_{i}p^{i}} где n 0 {displaystyle n_{0}} — некоторое целое число, а a i {displaystyle a_{i}} — целые неотрицательные числа, не превосходящие p − 1 {displaystyle p-1} . А именно, в качестве a i {displaystyle a_{i}} здесь выступают цифры из записи x в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике d p {displaystyle d_{p}} к самому x {displaystyle x} .

p-адическая норма | x | p {displaystyle |x|_{p}} удовлетворяет сильному неравенству треугольника

| x − z | p ≤ max { | x − y | p , | y − z | p } . {displaystyle |x-z|_{p}leq max{|x-y|_{p},|y-z|_{p}}.}

Числа x ∈ Q p {displaystyle xin mathbb {Q} _{p}} с условием | x | p ≤ 1 {displaystyle |x|_{p}leq 1} образуют кольцо Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел Z ⊂ Q {displaystyle mathbb {Z} subset mathbb {Q} } в норме | x | p {displaystyle |x|_{p}} .
Числа x ∈ Q p {displaystyle xin mathbb {Q} _{p}} с условием | x | p = 1 {displaystyle |x|_{p}=1} образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами.
Совокупность чисел x ∈ Q p {displaystyle xin mathbb {Q} _{p}} с условием | x | p < 1 {displaystyle |x|_{p}<1} является главным идеалом в Z p {displaystyle mathbb {Z} _{p}} с образующим элементом p.

Метрическое пространство ( Z p , d p ) {displaystyle (mathbb {Z} _{p},d_{p})} гомеоморфно канторову множеству, а пространство ( Q p , d p ) {displaystyle (mathbb {Q} _{p},d_{p})} гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.
Для различных p нормы | x | p {displaystyle |x|_{p}} независимы, а поля Q p {displaystyle mathbb {Q} _{p}} неизоморфны.
Для любых элементов r ∞ {displaystyle r_{infty }} , r 2 {displaystyle r_{2}} , r 3 {displaystyle r_{3}} , r 5 {displaystyle r_{5}} , r 7 {displaystyle r_{7}} , … таких, что r ∞ ∈ R {displaystyle r_{infty }in mathbb {R} } и r p ∈ Q p {displaystyle r_{p}in mathbb {Q} _{p}} , можно найти последовательность рациональных чисел x n {displaystyle x_{n}} таких, что для любого p выполнено | x i − r p | p → 0 {displaystyle |x_{i}-r_{p}|_{p} o 0} и | x i − r ∞ | → 0 {displaystyle |x_{i}-r_{infty }| o 0} .

Применения

Если F ( x 1 , x 2 , … , x n ) {displaystyle F(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})} — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k {displaystyle k} сравнения

F ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ≡ 0 ( mod p k ) {displaystyle F(x_{1},x_{2},cdots ,x_{n})equiv 0{pmod {p^{k}}}} эквивалентна разрешимости уравнения F ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = 0 {displaystyle F(x_{1},x_{2},cdots ,x_{n})=0} в целых p {displaystyle p} -адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p {displaystyle p} -адических чисел при всех p {displaystyle p} , а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным. На практике для проверки разрешимости уравнения в целых p {displaystyle p} -адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений k {displaystyle k} . Например, согласно лемме Гензеля, при n = 1 {displaystyle n=1} достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных k {displaystyle k} служит наличие простого решения у сравнения по модулю p {displaystyle p} (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю p {displaystyle p} ). Иначе говоря, при n = 1 {displaystyle n=1} для проверки наличия корня у уравнения в целых p {displaystyle p} -адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при k = 1 {displaystyle k=1} .

p {displaystyle p} -адические числа находят широкое применение в теоретической физике. Известны p {displaystyle p} -адические обобщённые функции, p-адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова), p-адическая квантовая механика, p-адическая спектральная теория, p-адическая теория струн