Тела вращения
Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
Примеры тел вращения
- Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза
- Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развёртки:
S b o k = 2 π r h {displaystyle S_{bok}=2pi rh} .- Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки:
S b o k = π r l {displaystyle S_{bok}=pi rl} .Площадь полной поверхности конуса:
S p o l n = π r ( r + l ) {displaystyle S_{poln}=pi r(r+l)} .- Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его
При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).
Объём тел вращения
Вращение вокруг оси x
Объём тела, образуемого вращением вокруг оси x {displaystyle x} фигуры, ограниченной графиком функции y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} на интервале [ a ; b ] {displaystyle [a;b]} , осью x {displaystyle x} и прямыми x = a {displaystyle x=a} и x = b {displaystyle x=b} , равен:
V x = π ∫ a b f 2 ( x ) d x {displaystyle V_{x}=pi int _{a}^{b}f^{2}(x)dx}Вращение вокруг оси y
Объём тела, образуемого вращением вокруг оси y {displaystyle y} фигуры, ограниченной графиком функции y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} на интервале [ a ; b ] {displaystyle [a;b]} , осью x {displaystyle x} и прямыми x = a {displaystyle x=a} и x = b {displaystyle x=b} , равен:
V y = 2 π ∫ a b x f ( x ) d x {displaystyle V_{y}=2pi int _{a}^{b}xf(x)dx}Теорема Гульдина
Объём и площадь поверхности тел вращения можно также узнать при помощи теорем Гульдина-Паппа, которые связывают площадь или объём с центром масс фигуры.
- Первая теорема Гульдина-Паппа гласит:
- Вторая теорема Гульдина-Паппа гласит: