Тела вращения

05.07.2022

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Примеры тел вращения

  • Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза
  • Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развёртки:

S b o k = 2 π r h {displaystyle S_{bok}=2pi rh} .
  • Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки:

S b o k = π r l {displaystyle S_{bok}=pi rl} .

Площадь полной поверхности конуса:

S p o l n = π r ( r + l ) {displaystyle S_{poln}=pi r(r+l)} .
  • Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его

При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).

Объём тел вращения

Вращение вокруг оси x

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси x {displaystyle x} фигуры, ограниченной графиком функции y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} на интервале [ a ; b ] {displaystyle [a;b]} , осью x {displaystyle x} и прямыми x = a {displaystyle x=a} и x = b {displaystyle x=b} , равен:

V x = π ∫ a b f 2 ( x ) d x {displaystyle V_{x}=pi int _{a}^{b}f^{2}(x)dx}

Вращение вокруг оси y

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси y {displaystyle y} фигуры, ограниченной графиком функции y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} на интервале [ a ; b ] {displaystyle [a;b]} , осью x {displaystyle x} и прямыми x = a {displaystyle x=a} и x = b {displaystyle x=b} , равен:

V y = 2 π ∫ a b x f ( x ) d x {displaystyle V_{y}=2pi int _{a}^{b}xf(x)dx}

Теорема Гульдина

Объём и площадь поверхности тел вращения можно также узнать при помощи теорем Гульдина-Паппа, которые связывают площадь или объём с центром масс фигуры.

  • Первая теорема Гульдина-Паппа гласит:
  • Вторая теорема Гульдина-Паппа гласит: