Теория Янга — Миллса


Теория Янга — Миллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чжэньином Янгом и Робертом Миллсом, и первое время рассматривались лишь как математические поиски, не имеющие отношения к реальности. Однако в 1960—1970-х годах на основе теорий Янга — Миллса были созданы две краеугольные теории стандартной модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе групп SU(2)×U(1).

Характерные свойства

Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга — Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным уравнениям Максвелла, отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга — Миллса не выполняется принцип суперпозиции.

Кванты полей Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии физические поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.

Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удаётся решить приближённо в виде ряда теории возмущений, однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия», за решение любой из которых Математический институт Клэя присудит премию в 1 миллион долларов США.

Математика

Теории Янга — Миллса — частный пример калибровочной теории поля с неабелевой группой калибровочной симметрии. Лагранжиан свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид

  L g f = − 1 4 Tr ⁡ ( F 2 ) = − 1 4 F μ ν a F μ ν a , {displaystyle {mathcal {L}}_{mathrm {gf} }=-{frac {1}{4}}operatorname {Tr} (F^{2})=-{frac {1}{4}}F^{mu u a}F_{mu u }^{a},}

где F {displaystyle F} — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на тензор-потенциал A μ a {displaystyle A_{mu }^{a}} калибровочной группы:

  F μ ν a = ∂ μ A ν a − ∂ ν A μ a + g f a b c A μ b A ν c , {displaystyle F_{mu u }^{a}=partial _{mu }A_{ u }^{a}-partial _{ u }A_{mu }^{a}+gf^{abc}A_{mu }^{b}A_{ u }^{c},}

где под ∂ μ {displaystyle partial _{mu }} понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.

Порождающие алгебры Ли калибровочной группы T a {displaystyle T^{a}} удовлетворяют соотношению

  [ T a , T b ] = i f a b c T c {displaystyle [T^{a},T^{b}]=if^{abc}T^{c}} ,

где f a b c {displaystyle f^{abc}} называются структурными константами группы.

Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как:

  D μ = I ∂ μ − i g T a A μ a {displaystyle D_{mu }=Ipartial _{mu }-igT^{a}A_{mu }^{a}} ,

где I {displaystyle I} — единичный оператор, а g {displaystyle g} — это константа взаимодействия. В четырёхмерном пространстве-времени константа взаимодействия g {displaystyle g} — это безразмерная величина. Для групп S U ( N ) {displaystyle SU(N)} a , b , c = 1 … N 2 − 1 {displaystyle a,b,c=1ldots N^{2}-1} .

Вышеприведённое определение F μ ν a {displaystyle F_{mu u }^{a}} может быть получено исходя из коммутатора:

  [ D μ , D ν ] = − i g T a F μ ν a {displaystyle [D_{mu },D_{ u }]=-igT^{a}F_{mu u }^{a}} .

Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения:

∂ μ F μ ν a + g f a b c A μ b F μ ν c = 0 {displaystyle partial ^{mu }F_{mu u }^{a}+gf^{abc}A^{mu b}F_{mu u }^{c}=0}

называются полулинейными. В случае малой константы связи g < 1 {displaystyle g<1} в данной теории применима теория возмущений.

Переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, f a b c = f a b c {displaystyle f^{abc}=f_{abc}} , в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени, в простейшем случае — обычной метрикой Минковского η μ ν = d i a g ( + − − − ) {displaystyle eta _{mu u }={ m {diag}},(+---)} .

С введением F μ ν = T a F μ ν a {displaystyle F_{mu u }=T^{a}F_{mu u }^{a}} уравнения движения можно переписать так:

( D μ F μ ν ) a = 0. {displaystyle (D^{mu }F_{mu u })^{a}=0.}

Так как F {displaystyle F} — 2-форма, то выполняется тождество Бьянки:

  ( D μ F ν κ ) a + ( D κ F μ ν ) a + ( D ν F κ μ ) a = 0 {displaystyle (D_{mu }F_{ u kappa })^{a}+(D_{kappa }F_{mu u })^{a}+(D_{ u }F_{kappa mu })^{a}=0} .

Источник J μ a {displaystyle J_{mu }^{a}} входит в уравнения движения как:

∂ μ F μ ν a + g f a b c A μ b F μ ν c = − J ν a {displaystyle partial ^{mu }F_{mu u }^{a}+gf^{abc}A^{mu b}F_{mu u }^{c}=-J_{ u }^{a}} .

(Токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.)

В D {displaystyle D} измерениях пространства-времени поле масштабируется как [ A ] = [ L 2 − D 2 ] {displaystyle [A]=[L^{frac {2-D}{2}}]} и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность [ g 2 ] = [ L D − 4 ] {displaystyle [g^{2}]=[L^{D-4}]} . Это означает, что теории Янга — Миллса не перенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип). Кроме того, для D = 4 {displaystyle D=4} константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия теории скалярного безмассового поля с самодействием ϕ 4 {displaystyle phi ^{4}} . Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.