Функция Ломмеля

05.08.2022

Функция Ломмеля — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

z 2 d 2 f d z 2 + z d f d z + ( z 2 − ν 2 ) f = z μ + 1 {displaystyle z^{2}{frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+z{frac {df}{dz}}+(z^{2}- u ^{2})f=z^{mu +1}}

Введена немецким математиком Эйгеном фон Ломмелем.

Интегральное выражение функции Ломмеля:

G ν , μ ( x ) = π 2 ( N ν ( x ) ⋅ ∫ 0 x J ν ( t ) ⋅ t μ − 1 d t − J ν ( x ) ⋅ ∫ 0 x N ν ( t ) ⋅ t μ − 1 d t ) {displaystyle {mathsf {G}}_{ u ,mu }(x)={frac {pi }{2}}left(N_{ u }(x)cdot int _{0}^{x}J_{ u }(t)cdot t^{mu -1}dt-J_{ u }(x)cdot int _{0}^{x}N_{ u }(t)cdot t^{mu -1}dt ight)}

где J ν ( x ) {displaystyle J_{ u }(x)} — функция Бесселя; N ν ( x ) {displaystyle N_{ u }(x)} — функция Неймана.

Разложение функции Ломмеля в ряд:

G ν , μ ( x ) = x μ 4 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ⋅ ( x 2 ) 2 k ( μ + ν 2 ) k + 1 ⋅ ( μ − ν 2 ) k + 1 {displaystyle {mathsf {G}}_{ u ,mu }(x)={frac {x^{mu }}{4}}sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}cdot left({frac {x}{2}} ight)^{2k}}{left({frac {mu + u }{2}} ight)_{k+1}cdot left({frac {mu - u }{2}} ight)_{k+1}}}}

где ( a ) k {displaystyle left(a ight)_{k}} — символ Похгаммера.