Расслоённое произведение

31.08.2022

Расслоённое произведение (послойное произведение, коамальгама, декартов квадрат, англ. pullback) — теоретико-категорное понятие, определяемое как предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: X → Z ← Y . {displaystyle X o Zleftarrow Y.} Расслоённое произведение часто обозначают как X × Z Y . {displaystyle X imes _{Z}Y.}

Двойственное понятие — кодекартов квадрат.

Универсальное свойство

Пусть в категории C {displaystyle C} дана пара морфизмов f : X → Z {displaystyle f:X o Z} и g : Y → Z . {displaystyle g:Y o Z.} Расслоённое произведение X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} над Z {displaystyle Z} — это объект P = X × Z Y {displaystyle P=X imes _{Z}Y} вместе с морфизмами p 1 , p 2 , {displaystyle p_{1},p_{2},} для которых следующая диаграмма коммутативна:

Более того, расслоённое произведение должно быть универсальным объектом с таким свойством: для любого объекта Q , {displaystyle Q,} с парой морфизмов q 1 : Q → X , q 2 : Q → Y , {displaystyle q_{1}:Q o X,,q_{2}:Q o Y,} дополняющих пару ( f , g ) {displaystyle (f,g)} до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм u : Q → P , {displaystyle ucolon Q o P,} такой что нижеприведённая диаграмма коммутативна:

Внутренний квадрат этой диаграммы, образованный морфизмами f , g , p 1 , p 2 {displaystyle f,g,p_{1},p_{2}} называется декартовым (или коуниверсальным) квадратом для пары морфизмов f {displaystyle f} и g . {displaystyle g.}

Как и другие объекты, определённые с помощью универсального свойства, расслоённое произведение не обязательно существует, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.

Примеры

В категории множеств расслоённое произведение множеств X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} с отображениями f : X → Z {displaystyle f:X o Z} и g : Y → Z {displaystyle g:Y o Z} — это множество

X × Z Y = { ( x , y ) ∈ X × Y | f ( x ) = g ( y ) } {displaystyle X imes _{Z}Y={(x,y)in X imes Y|f(x)=g(y)}}

вместе с естественными проекциями на компоненты.

Аналогичным образом определяется расслоённое произведение в категории коммутативных колец.

Также расслоённое произведение в S e t {displaystyle mathbf {Set} } можно описывать двумя асимметричными способами:

X × Z Y {displaystyle X imes _{Z}Y} ≅ ∐ x ∈ X g − 1 [ { f ( x ) } ] {displaystyle cong coprod _{xin X}g^{-1}[{f(x)}]} ≅ ∐ y ∈ Y f − 1 [ { g ( y ) } ] , {displaystyle cong coprod _{yin Y}f^{-1}[{g(y)}],}

где ∐ {displaystyle coprod } — дизъюнктное объединение множеств.