Парабола

02.09.2022

Парабола (греч. παραβολή — приближение) — геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы). Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в прямую.

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Вершина

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Уравнения

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

y 2 = 2 p x , p > 0 {displaystyle extstyle y^{2}=2px,p>0} (или x 2 = 2 p y {displaystyle extstyle x^{2}=2py} , если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии p 2 {displaystyle {frac {p}{2}}} от обоих.

Парабола, заданная квадратичной функцией

Квадратичная функция y = a x 2 + b x + c {displaystyle y=ax^{2}+bx+c} при a ≠ 0 {displaystyle a eq 0} также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и y = a x 2 , {displaystyle y=ax^{2},} но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

x A = − b 2 a , y A = − D 4 a , {displaystyle x_{ extrm {A}}=-{frac {b}{2a}},;y_{ extrm {A}}=-{frac {D}{4a}},} где D = b 2 − 4 a c {displaystyle D=b^{2}-4ac} — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение y = a x 2 + b x + c {displaystyle y=ax^{2}+bx+c} может быть представлено в виде y = a ( x − x A ) 2 + y A , {displaystyle y=a(x-x_{ extrm {A}})^{2}+y_{ extrm {A}},} а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом p = 1 | 2 a | . {displaystyle p={frac {1}{|2a|}}.}

Общее уравнение параболы

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0. {displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант B 2 − 4 A C {displaystyle B^{2}-4AC} равен нулю.

Уравнение в полярной системе

Парабола в полярной системе координат ( ρ , ϑ ) {displaystyle ( ho ,vartheta )} с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

ρ ( 1 + cos ⁡ ϑ ) = p , {displaystyle ho (1+cos vartheta )=p,}

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Расчёт коэффициентов квадратичной функции

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, y = a x 2 + b x + c {displaystyle y=ax^{2}+bx+c} известны координаты трёх различных точек параболы ( x 1 ; y 1 ) , ( x 2 ; y 2 ) , ( x 3 ; y 3 ) , {displaystyle (x_{1};y_{1}),;(x_{2};y_{2}),;(x_{3};y_{3}),} то его коэффициенты могут быть найдены так:

a = y 3 − x 3 ( y 2 − y 1 ) + x 2 y 1 − x 1 y 2 x 2 − x 1 x 3 ( x 3 − x 1 − x 2 ) + x 1 x 2 ,     b = y 2 − y 1 x 2 − x 1 − a ( x 1 + x 2 ) ,     c = x 2 y 1 − x 1 y 2 x 2 − x 1 + a x 1 x 2 . {displaystyle a={frac {y_{3}-{ frac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}}, b={frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}), c={frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}.}

Если же заданы вершина ( x 0 ; y 0 ) {displaystyle (x_{0};y_{0})} и старший коэффициент a {displaystyle a} , то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

b = − 2 a x 0 {displaystyle b=-2ax_{0}} c = a x 0 2 + y 0 {displaystyle c=ax_{0}^{2}+y_{0}} x 1 = x 0 + − y 0 a {displaystyle x_{1}=x_{0}+{sqrt {-{frac {y_{0}}{a}}}}} x 2 = x 0 − − y 0 a {displaystyle x_{2}=x_{0}-{sqrt {-{frac {y_{0}}{a}}}}}

Свойства

• Парабола — кривая второго порядка.
• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
• Парабола является антиподерой прямой.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть Цепная линия.
• Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе

Связанные определения

• При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Обобщение

Парабола есть Синусоидальная спираль при n = − 1 2 {displaystyle extstyle n=-{frac {1}{2}}} ;

Параболы в физическом пространстве

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

• Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)

• Падение баскетбольного мяча

• Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США

• Параболические траектории струй воды

• Вращающийся сосуд с жидкостью

• Парабола — антиподера прямой