Инвариантная масса

Инвариантная масса, неизменная масса — это скалярная физическая величина, имеющая размерность массы, вычисляемая как функция энергии и импульса всех составных частей замкнутой физической системы и инвариантная относительно преобразований Лоренца.

У физических систем с времениподобным четырехимпульсом инвариантная масса положительна, у физических систем с нулевым четырехимпульсом (безмассовых физических систем, например, один фотон или множество фотонов, движущихся в одном и том же направлении) инвариантная масса равна нулю.

Если объекты внутри системы находятся в относительном движении, то инвариантная масса всей системы будет отличаться от суммы масс образующих её объектов.

Для изолированной "массивной" системы центр масс системы движется по прямой с постоянной субсветовой скоростью. В системе отсчета, относительно которой скорость центра масс равна нулю, общий импульс системы равен нулю, и систему в целом можно рассматривать как "находящуюся в состоянии покоя". В этой системе отсчета инвариантная масса системы равна общей энергии системы, деленной на квадрат скорости света {{"c"2}}. Эта общая энергия является "минимальной" энергией, которую можно наблюдать у системы, когда ее видят различные наблюдатели из разных инерциальных систем отсчета.

Система отсчета, относительно которой скорость центра масс равна нулю, не существует для группы фотонов, движущихся в одном направлении. Однако, когда два или более фотона движутся в разных направлениях, существует система координат центра масс. Таким образом, инвариантная масса системы из нескольких фотонов, движущихся в разных направлениях, положительна, несмотря на то, что она равна нулю для каждого фотона.

Сумма масс

Инвариантная масса системы включает массу любой кинетической энергии составляющих системы, которая остается в центре системы отсчета импульса, поэтому инвариантная масса системы может быть больше суммы инвариантных масс ее отдельных составляющих. Например, масса и инвариантная масса равны нулю для отдельных фотонов, даже если они могут добавлять массу к инвариантной массе систем. По этой причине инвариантная масса, как правило, не является аддитивной величиной (хотя есть несколько редких ситуаций, когда это может быть, как в случае, когда массивные частицы в системе без потенциальной или кинетической энергии могут быть добавлены к общей массе).

Рассмотрим простой случай системы из двух тел, где объект A движется к другому объекту B, который изначально находится в состоянии покоя (в любой конкретной системе отсчета). Величина инвариантной массы этой системы из двух тел (см. определение ниже) отличается от суммы масс покоя (т.е. их соответствующей массы в неподвижном состоянии). Даже если мы рассмотрим ту же систему с точки зрения центра импульса, где чистый импульс равен нулю, величина инвариантной массы системы не равна сумме масс покоя частиц внутри нее.

Кинетическая энергия частиц системы и потенциальная энергия силовых полей (возможно, отрицательная) вносят вклад в инвариантную массу системы. Сумма кинетических энергий частиц, является наименьшей в системе координат центра импульса.

Для изолированной "массивной" системы центр масс движется по прямой с постоянной субсветовой скоростью. Таким образом, всегда можно разместить наблюдателя, который будет двигаться вместе с ним. В этой системе отсчета, которая является системой центра масс, общий импульс равен нулю, и систему в целом можно рассматривать как "находящуюся в состоянии покоя", если это связанная система ннапример, бутылка с газом). В этой системе отсчета, которая существует всегда, инвариантная масса системы равна общей энергии системы (в системе отсчета с нулевым импульсом), деленной на "c"2.

Определение в физике элементарных частиц

В физике элементарных частиц инвариантная масса m0 системы N {displaystyle N} элементарных частиц может быть рассчитана по энергиям частиц E i {displaystyle E_{i}} и их импульсам P i {displaystyle mathbf {P} _{i}} , i = 1 , . . . N {displaystyle i=1,...N} , измеренными в произвольной системе отсчёта, с помощью соотношения энергии и импульса:

m 0 2 c 4 = ( ∑ i E i ) 2 − ‖ ∑ i p i ‖ 2 c 2 {displaystyle m_{0}^{2}c^{4}=left(sum _{i}E_{i} ight)^{2}-left|sum _{i}mathbf {p} _{i} ight|^{2}c^{2}}

или в релятивистской системе единиц где c = 1 {displaystyle c=1} ,

m 0 2 = ( ∑ i E i ) 2 − ‖ ∑ i p i ‖ 2 {displaystyle m_{0}^{2}=left(sum _{i}E_{i} ight)^{2}-left|sum _{i}mathbf {p} _{i} ight|^{2}}

Инвариантная масса одинакова во всех системах отсчета (см. также специальная теория относительности). С математической точки зрения она представляет собой псевдоевклидову длину четырёхвектора (E, p), рассчитанную с использованием релятивистской версии теоремы Пифагора, которая использует разные знаки для пространственных и временных измерений. Эта длина сохраняется при любом смещении или вращении Лоренца в четырех измерениях, точно так же, как обычная длина вектора, сохраняется при вращениях.

Поскольку инвариантная масса определяется из величин, которые сохраняются во время распада, инвариантная масса, рассчитанная с использованием энергии и импульса продуктов распада одной частицы, равна массе распавшейся частицы.

В экспериментах по неупругому рассеянию инвариантная масса необнаруженной частицы, уносящей с собой часть энергии и импульса, называется недостающей массой W {displaystyle W} . Она определяется (в релятивистской системе единиц):

W 2 = ( ∑ E in − ∑ E out ) 2 − ‖ ∑ p in − ∑ p out ‖ 2 . {displaystyle W^{2}=left(sum E_{ ext{in}}-sum E_{ ext{out}} ight)^{2}-left|sum mathbf {p} _{ ext{in}}-sum mathbf {p} _{ ext{out}} ight|^{2}.}

Если есть одна доминирующая частица, которая не была обнаружена во время эксперимента, ее массу можно определить по пику на графике ее инвариантной массы.

В тех случаях, когда импульс вдоль одного направления не может быть измерен (т.е. в случае нейтрино, о присутствии которого можно судить только по недостающей энергии), используется поперечная масса.

Примеры

Столкновение двух частиц

При столкновении двух частиц (или распаде двух частиц) квадрат инвариантной массы (в в релятивистской системе единиц) равен

M 2 = ( E 1 + E 2 ) 2 − ‖ p 1 + p 2 ‖ 2 = m 1 2 + m 2 2 + 2 ( E 1 E 2 − p 1 ⋅ p 2 ) . {displaystyle {egin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-left|{ extbf {p}}_{1}+{ extbf {p}}_{2} ight|^{2}&=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2left(E_{1}E_{2}-{ extbf {p}}_{1}cdot { extbf {p}}_{2} ight).end{aligned}}}

Безмассовые частицы

Инвариантная масса системы, состоящей из двух безмассовых частиц, импульсы которых образуют угол θ {displaystyle heta } имеет удобное выражение:

M 2 = ( E 1 + E 2 ) 2 − ‖ p 1 + p 2 ‖ 2 = [ ( p 1 , 0 , 0 , p 1 ) + ( p 2 , 0 , p 2 sin ⁡ θ , p 2 cos ⁡ θ ) ] 2 = ( p 1 + p 2 ) 2 − p 2 2 sin 2 ⁡ θ − ( p 1 + p 2 cos ⁡ θ ) 2 = 2 p 1 p 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) . {displaystyle {egin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-left|{ extbf {p}}_{1}+{ extbf {p}}_{2} ight|^{2}&=[(p_{1},0,0,p_{1})+(p_{2},0,p_{2}sin heta ,p_{2}cos heta )]^{2}&=(p_{1}+p_{2})^{2}-p_{2}^{2}sin ^{2} heta -(p_{1}+p_{2}cos heta )^{2}&=2p_{1}p_{2}(1-cos heta ).end{aligned}}}

Эксперименты на коллайдере

В экспериментах на коллайдере частиц часто определяют угловое положение частицы в терминах азимутального угла ϕ {displaystyle phi } и псевдобыстроты η {displaystyle eta } . Кроме того, обычно измеряется поперечный импульс, p T {displaystyle p_{T}} . В этом случае, если частицы безмассовые или сильно релятивистские ( E ≫ m {displaystyle Egg m} ), то инвариантная масса определяется как:

M 2 = 2 p T 1 p T 2 ( cosh ⁡ ( η 1 − η 2 ) − cos ⁡ ( ϕ 1 − ϕ 2 ) ) . {displaystyle M^{2}=2p_{T1}p_{T2}(cosh(eta _{1}-eta _{2})-cos(phi _{1}-phi _{2})).}