Теорема Бёрнсайда


Теорема Бёрнсайда — классическая теорема теории конечных групп.

Теорема была доказана Вильямом Бёрнсайдом в начале XX века. Теорема Бёрнсайда долгое время была наиболее известным приложением теории представлений к теории групп. Доказательство без использования характеров группы было найдено Голдсмитом гораздо позже.

Формулировка

Пусть группа G {displaystyle G} имеет порядок p a ⋅ q b {displaystyle p^{a}cdot q^{b}} , где p {displaystyle p} и q {displaystyle q} — простые числа. Тогда G {displaystyle G} — разрешима.

Замечания

  • Из теоремы следует, что каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся на три различных простых числа.
    • В частности наименьшая неабелева конечная простая группа — знакопеременная группа A 5 {displaystyle A_{5}} имеет порядок 60 = 5 ⋅ 3 ⋅ 2 2 {displaystyle 60=5cdot 3cdot 2^{2}} .

Схема доказательства Бёрнсайда

  • Используя математическую индукцию, достаточно доказать, что простая группа G {displaystyle G} данного порядка — абелева.
  • По теореме Силова, группа G {displaystyle G} имеет либо нетривиальный центр, либо класс сопряженности размера p r {displaystyle p^{r}} для некоторого r ⩾ 1 {displaystyle rgeqslant 1} . В первом случае, поскольку центр является нормальной подгруппой группы G {displaystyle G} , она должна совпадать с центром, а значит являться абелевой. Значит верен второй случай — существует элемент x {displaystyle x} группы G {displaystyle G} , такой что класс сопряжённости элемента x {displaystyle x} имеет размер p r > 1 {displaystyle p^{r}>1} .
  • Используя свойства ортогональности характеров группы и свойства алгебраических чисел, можно доказать существование нетривиального неприводимого характера χ {displaystyle chi } группы G {displaystyle G} такого, что | χ ( x ) | = χ ( 1 ) {displaystyle |chi (x)|=chi (1)} .
  • Из простоты группы G {displaystyle G} следует, что любое комплексное неприводимое представление характера χ {displaystyle chi } верно (или точно), и отсюда следует, что x {displaystyle x} принадлежит центру группы G {displaystyle G} , что противоречит тому, что размер класса сопряжённости больше 1.
  • Вариации и обобщения

    • Наименьшее простое число в разложении порядка неразрешимой конечной группы, входит в разложение в степени хотя бы 2.