Ковариантный вектор

20.02.2021

В линейной алгебре ковариантный вектор на векторном пространстве — это то же самое, что и линейная форма (линейный функционал) на этом пространстве.

В дифференциальной геометрии ковариантный вектор на дифференцируемом многообразии — это гладкое сечение кокасательного расслоения. Эквивалентно, ковариантный вектор на многообразии M — это гладкое отображение тотального пространства касательного расслоения M в R, ограничение которого на каждый слой — это линейный функционал на касательном пространстве. Это запишется так:

α : T M → R , α x = α | T x M : T x M → R {displaystyle alpha :TM ightarrow {mathbf {R} },quad alpha _{x}=alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M ightarrow {mathbf {R} }}

где αx линейно.

Ко- и контравариантные векторы в пространствах (на многообразиях) с невырожденной метрикой

Далее подразумевается, что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют), задана невырожденная метрика.

Соответствие между векторами и ковекторами

Если определён невырожденный метрический тензор, то формально «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» можно считать просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть через набор ковариантных координат) или контравариантный (то есть через набор контравариантных координат). Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором:

  v i = g i j v j {displaystyle v_{i}=g_{ij}v^{j}}   v i = g i j v j {displaystyle v^{i}=g^{ij}v_{j}}

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Различие между векторами и ковекторами

Содержательно векторы и ковекторы различают по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов — например, для градиента — естественно разложение по дуальному базису, так как их естественная свёртка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов (к которым принадлежит и само смещение по пространственным координатам d x i {displaystyle dx^{i}} ) естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр   d φ = ( ∂ i φ ) d x i {displaystyle dvarphi =(partial _{i}varphi ),dx^{i}} получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора   ∂ i φ {displaystyle partial _{i}varphi } , являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором   d x i {displaystyle dx^{i}} , являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; при этом сам с собой   d x i {displaystyle dx^{i}} свёртывается с помощью метрики:   ( d x ) 2 = g i j d x i d x j {displaystyle (dx)^{2}=g_{ij},dx^{i},dx^{j}} , что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идёт об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности/контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения   d x i {displaystyle dx^{i}} , являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свертываются с   d x i {displaystyle dx^{i}} посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы (1-формы); в противном случае (свёртка требует участия метрики) это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты полностью абстрактны и нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает или становится также чисто условным.

Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для ковектора же — ковариантное.