Теория Мора — Кулона

21.02.2021

Теория Кулона — Мора — математическая модель, описывающая зависимость касательных напряжений материала от величины приложенных нормальных напряжений.

История

Теория названа в честь Шарля Огюстена де Кулона и Отто Кристиана Мора. В основе её лежит гипотеза Мора о зависимости предельных касательных напряжений от среднего нормального напряжения и гипотеза Кулона о том, что названная зависимость обусловлена внутренним трением в твёрдом теле.

Критерий прочности

Критерий прочности Кулона — Мора представляет собой билинейную зависимость касательных напряжений материала от величины приложенных нормальных напряжений. Эта зависимость может быть представлена как:

τ = σ   tan ⁡ ( φ ) + c {displaystyle au =sigma ~ an(varphi )+c} ,

где τ {displaystyle au } — величина касательных напряжений, σ {displaystyle sigma } — величина нормальных напряжений, c {displaystyle c} — пересечение кривой критерия прочности с осью τ {displaystyle au } , а tan ⁡ ( φ ) {displaystyle an(varphi )} — тангенс угла наклона кривой критерия прочности. Величину c {displaystyle c} часто называют сцеплением, а угол φ {displaystyle varphi } называют углом внутреннего трения. Принято, что направление сжатия имеет положительный знак.

Если φ = 0 {displaystyle varphi =0} , критерий прочности Кулона — Мора превращается в критерий Треска. Если же φ = 90 ∘ {displaystyle varphi =90^{circ }} , то критерий прочности Кулона — Мора соответствует модели вязкой среды Ранкина.

Теория прочности Кулона — Мора широко используется в строительстве и в горном деле применительно к рыхлым несвязным и связным горным породам, а также применительно к обломочным сцементированным горным породам.

Для кругов Мора верно, что:

σ = σ m − τ m sin ⁡ φ   ;     τ = τ m cos ⁡ φ {displaystyle sigma =sigma _{m}- au _{m}sin varphi ~;~~ au = au _{m}cos varphi } ,

где

τ m = σ 1 − σ 3 2   ;     σ m = σ 1 + σ 3 2 {displaystyle au _{m}={cfrac {sigma _{1}-sigma _{3}}{2}}~;~~sigma _{m}={cfrac {sigma _{1}+sigma _{3}}{2}}} ,

σ 1 {displaystyle sigma _{1}} — максимальное главное напряжение, а σ 3 {displaystyle sigma _{3}} — минимальное главное напряжение.

Следовательно критерий прочности Кулона — Мора может быть представлен как:

τ m = σ m sin ⁡ φ + c cos ⁡ φ {displaystyle au _{m}=sigma _{m}sin varphi +ccos varphi } .

Этот вид критерия прочности Кулона — Мора соответствует разрушению на плоскости, параллельной направлению главного напряжения σ 2 {displaystyle sigma _{2}} .

Критерий прочности Кулона — Мора обычно используется для анализа несущей способности грунтовых массивов. При нагружении грунты работают преимущественно на сдвиг по поверхности с наименьшей несущей способностью. Поэтому сдвиговая прочность является определяющей прочностной характеристикой для грунтов. Разрушение реализуется в тот момент, когда величина сдвигового (касательного) напряжения достигает предела прочности грунта на сдвиг. Поэтому связь между нормальными напряжениями и касательными напряжениями является критерием прочности для грунтов.