Субгармоническая функция

21.02.2021

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.

Определение

Непрерывная функция U ( M ) {displaystyle U(M)} , заданная в точках M ( x 1 , … , x k ) {displaystyle M(x_{1},;ldots ,;x_{k})} произвольной k {displaystyle k} -мерной области G {displaystyle G} пространства E k {displaystyle E_{k}} , называется субгармонической, если, каким бы ни был шар Q {displaystyle Q} с центром в точке M 0 {displaystyle M_{0}} , принадлежащий вместе со своей границей области G {displaystyle G} , справедливо неравенство U ( M 0 ) ⩽ 1 σ ( γ ( Q ) ) ∫ γ ( Q ) U ( M ) d σ {displaystyle U(M_{0})leqslant {frac {1}{sigma (gamma (Q))}}int limits _{gamma (Q)}U(M),dsigma } , и супергармонической, если U ( M 0 ) ⩾ 1 σ ( γ ( Q ) ) ∫ γ ( Q ) U ( M ) d σ {displaystyle U(M_{0})geqslant {frac {1}{sigma (gamma (Q))}}int limits _{gamma (Q)}U(M),dsigma } .

Основные свойства

  • f {displaystyle f} — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
  • Если G ⊂ R n {displaystyle Gsubset mathbb {R} ^{n}} — открытое множество и f ∈ C 2 ( G ) {displaystyle fin {mathcal {C}}^{2}(G)} ( C 2 ( G ) {displaystyle {mathcal {C}}^{2}(G)} — класс дважды непрерывно дифференцируемых на G {displaystyle G} функций), то для субгармоничности f {displaystyle f} необходимо и достаточно выполнение на G {displaystyle G} условия Δ f ⩾ 0 {displaystyle Delta fgeqslant 0} ( Δ {displaystyle Delta } — оператор Лапласа).
  • Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.
  • Свойства

    • Для любой аналитической функции f ( z ) {displaystyle f(z)} определённой на открытом множестве комплексной плоскости, функция φ ( z ) = log ⁡ | f ( z ) | {displaystyle varphi (z)=log |f(z)|}
    является субгармонической.