Уравнение Линдблада

22.02.2021

Уравнение Линдблада (реже — Уравнение Горини — Коссаковского — Сударшана — Линдблада, англ. GKSL equation) — уравнение для матрицы плотности, является наиболее общим видом марковского производящего уравнения, описывающего неунитарную (диссипативную, негамильтонову) эволюцию матрицы плотности ρ {displaystyle ho } . Эволюция при этом представляется вполне-положительным отображением (супероператором), сохраняющим след. Предложено в 1976 году Витторио Горини, Анжеем Коссаковским, Джорджем Сударшаном и Йёраном Линдбладом.

Уравнение Линдблада для матрицы плотности может быть записано в виде:

d d t ρ = 1 i ℏ [ H , ρ ] + 1 2 ℏ ∑ k = 1 ∞ ( [ V k ρ , V k † ] + [ V k , ρ V k † ] ) , {displaystyle {frac {d}{dt}} ho ={frac {1}{ihbar }}[H, ho ]+{frac {1}{2hbar }}sum _{k=1}^{infty }{ig (}[V_{k} ho ,V_{k}^{dagger }]+[V_{k}, ho V_{k}^{dagger }]{ig )},}

где ρ {displaystyle ho } — матрица плотности, H {displaystyle H} — оператор Гамильтона, V k {displaystyle V_{k}} — некие операторы. Если операторы V k {displaystyle V_{k}} равны нулю, то уравнение Линдблада переходит в уравнение фон Неймана (квантовое уравнение Лиувилля).

Уравнением Линдблада называют также уравнение для квантовой наблюдаемой. Это уравнение имеет вид:

d d t A = − 1 i ℏ [ H , A ] + 1 2 ℏ ∑ k = 1 ∞ ( V k † [ A , V k ] + [ V k † , A ] V k ) , {displaystyle {frac {d}{dt}}A=-{frac {1}{ihbar }}[H,A]+{frac {1}{2hbar }}sum _{k=1}^{infty }{ig (}V_{k}^{dagger }[A,V_{k}]+[V_{k}^{dagger },A]V_{k}{ig )},}

где A {displaystyle A} — квантовая наблюдаемая. Если операторы V k {displaystyle V_{k}} равны нулю, то уравнение Линдблада для квантовой наблюдаемой A {displaystyle A} переходит в уравнение Гейзенберга

Уравнение Линдблада, называемое также квантовым марковским уравнением, применяется для описания открытых, диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Важным частным случаем уравнения Линдблада является модель случайных столкновений, в которой операторы V k {displaystyle V_{k}} имеют вид: V k l = ℏ γ ρ ~ k k | k ⟩ ⟨ l | {displaystyle V_{kl}=hbar gamma {sqrt {{ ilde { ho }}_{kk}}}|k angle langle l|} (для удобства записи матричный индекс   k {displaystyle k} заменен на двойной). Подстановка этих операторов приводит уравнение Линдблада к виду:

d d t ρ = 1 i ℏ [ H , ρ ] + γ ( ρ ~ − ρ ) , {displaystyle {frac {d}{dt}} ho ={frac {1}{ihbar }}[H, ho ]+gamma ({ ilde { ho }}- ho ),}

где ρ ~ {displaystyle { ilde { ho }}} — фиксированная диагональная матрица с ненулевыми элементами ρ ~ k k {displaystyle { ilde { ho }}_{kk}} , такими, что Tr ⁡ ρ ~ = 1 {displaystyle operatorname {Tr} { ilde { ho }}=1} , описывающая матрицу плотности термодинамически равновесного состояния системы. Модель случайных столкновений пригодна для случаев, когда взаимодействие квантовой системы с резервуаром происходит в режиме коротких и сильных импульсов, между которыми система эволюционирует как закрытая.